Найти вектор, ортогональный данному в три-дэ

[INGELRII]

Задача вот какая: пусть у нас в трехмерном пространстве задан вектор $(a,b,c)$, длина его равна $1$. Нужно найти такую векторную функцию $(f(a,b,c), g(a,b,c), h(a,b,c))$, чтобы при любых допустимых значениях аргумента функция выдавала единичный вектор, ортогональный данному.

В двумерном пространстве такая задача решается легко: $(a,b)$ ортогонален $(b,-a)$. В четырехмерном для вектора $(a,b,c,d)$ ортогональным будет, например, $(b,-a,d,-c)$. В трехмерном же такой фокус не прокатывает по причине нечетности количества измерений.

[ewert]

INGELRII в сообщении #516057 писал(а):

Нужно найти такую векторную функцию $(f(a,b,c), g(a,b,c), h(a,b,c))$, чтобы при любых допустимых значениях аргумента функция выдавала единичный вектор, ортогональный данному.

Постановка задачи странна: что понимать под "функцией", если такой вектор определён заведомо очень неоднозначно?...

Если же речь идёт о задании хоть какой-нибудь однозначной (и непрерывной) такой функции, то эта задача, конечно, неразрешима, т.к. сводится к задаче о причёсывании ежа.

[INGELRII]

Под функцией я по умолчанию понимаю однозначную. Да, задача о поиске хоть какой-нибудь такой функции. И да, она сводится к причесыванию ежа... Хорошо, а если отказаться от непрерывности?

[ewert]

INGELRII в сообщении #516062 писал(а):

Хорошо, а если отказаться от непрерывности?

Вы же хотите найти какую-нибудь формулу, да?... Т.е. какую-нибудь аналитическую функцию. И, значит, непрерывную.

[INGELRII]

А как насчет кусочно-непрерывной?

[svv]

Векторное произведение фиксированного вектора $n$ и аргумента.
Если Вас устроит, что при их коллинеарности результатом будет нулевой вектор.

-- Пт дек 16, 2011 11:04:51 --

А, не заметил, что результат тоже единичный. Но, может, Вы уже отказались от этого требования?

[INGELRII]

Конечно, не устроит... Мне нужно отображение: единичный вектор -> ортогональный единичный вектор. Нулевой не того. Ладно, похоже, я требую невыволнимого. Вроде нечетного числа, без остатка делящегося на два.

[svv]

Выбираем два единичных ортогональных вектора $n$ и $m$. Функцию определяем так:
если $n\times x$ не равен нулю, то $\frac{n\times x}{|n\times x|}$
иначе $m$

А так?

[ewert]

svv в сообщении #516093 писал(а):

А так?

Так можно, но такой способ примерно эквивалентен следующему: а вот давайте назначим то отображение просто от балды.

[svv]

INGELRII писал(а):

Да, задача о поиске хоть какой-нибудь такой функции.
...
Хорошо, а если отказаться от непрерывности?

[Алексей К.]

Предыдущее обсуждение:

Someone в сообщении #164383 писал(а):

Обозначим $S^2=\{\vec x\in\mathbb R^3:\|\vec x\|=1\}$.
Предположим, что существует такое непрерывное отображение $f\colon S^2\to S^2$, что векторы $\vec x$ и $f\vec x$ не коллинеарны. Существование такого отображения необходимо и достаточно для решения обсуждаемой задачи.

Для каждого $\vec x\in S^2$ рассмотрим кратчайшую дугу большого круга сферы $S^2$, проходящую через векторы $\vec x$ и $f\vec x$. Построим в точке $\vec x$ единичный касательный вектор к этой дуге, направленный в сторону $f\vec x$. В результате получим непрерывное поле единичных касательных векторов на сфере $S^2$, что, как известно, невозможно. Поэтому в классе непрерывных функций обсуждаемая задача решений не имеет.

[INGELRII]

А разве не найдется такого вектора $x_1$, что $\frac{n\times x_1}{|n\times x_1|}=m$? То есть в один и тот же вектор переводятся сразу два?

Upd: я ж забыл оговорить - отображение должно быть взаимно-однозначным!

[svv]

Да, конечно, для вектора $x=m\times n$, как и для $x=\pm n$, результат будет $m$, и взаимной однозначности не будет.

[guenn]

Не нравится задача.

Для двумерного случая есть еще один вектор, координаты которого противоположны предложенным. Он не хуже и не лучше. Имеем ровно 2 вектора единичной длины ортогональных данному

Для трехмерного случая
Если абсцисса исходного вектора ноль, абсцисса искомого любая, иначе равна нулю; дальше двумерный случай. Полученный вектор нормализуем.

Аналогичная процедура возможна для других двух координат.

[Munin]

Цитата:

что, как известно, невозможно

А это-то как-нибудь по-простому, но строже, чем прибегая к наглядной аналогии с ежами, доказать можно?