исследовать функцию трех переменных на локальный экстремум

[sandrachka]

здравствуйте, многоуважаемые участники форума! дана такая функция:

$$u=2x^2+y^2-xy-xz+2z$$

нужно исследовать ее на локальный экстремум. я так понимаю, что необходимо найти стационарные точки. начинаю искать частные производные и тут загвоздка!
вопрос: нужно ли искать производные по xy, по xz, по yx??? но, как нестранно, не получается ничего ни с этими производными, ни без них! без них получается какая-то противоречивая система из трех уравнений. $4x-y=0$ $2y-x=0$ $-x+2=0$ из нее не понятно чему же равны x и y. если же искать производные по xy, xz, yx, то получается система из шести уравнений: $4x-y=0$ $4x+2y-1=0$ $4x+1=0$ 2y-x=0$ 2y-1=0$ $-x+2=0$
буду очень признательна за помощь!!!

[SpBTimes]

Для нахождения стац. точек решается система из первых частных производных, приравненных к нулю.
Их у вас будет 3.

[sandrachka]

значит нужно взять производные по x, по y, по z. приэтом я получаю следующие уравнения: $4x-y-z=0$ $2y-x=0$ $-x+2=0$ из последнего уравнения $x=2$ из второго- $2y=x$ $y=1$ из первого - $z=4x-y$ $z=7$
и получаю точку: )2, 1, 7). но это только одна стандартная точка! а что же дальше делать чтоб другие получить???

[SpBTimes]

значит всего одна

[spaits]

Для исследования вида локального экстремума необходимо найти все вторые производные (что Вы и собирались вначале сделать, но всё по порядку).

[sandrachka]

беру производные по xy, xz. $4x+2y-1=0$ $4x-1=0$ и получается почему то их две... по yx можно взять или нет...???

[spaits]

Надо взять все возможные вторые частные производные, для функции ьрех переменнвх их будет девять. Что делать потом, прочитайте в учебнике.

-- Чт дек 15, 2011 00:53:18 --

При этом ранее найденные первые частные производные нулю приравниать не надо.