кривая на сфере

[Oleg Zubelevich]

svv в сообщении #514973 писал(а):

Остается сократить на $k'$, но оно иногда предательски равно нулю.

И это именно то, о чем писал Padawan: в силу первого равенства $k'\ne 0$ тогда и только тогда ,когда $k>1/R$ и из первого равества следует второе, а второе равенство это необходимое и достаточное условие того, что кривая лежит на сфере, поэтому и первое равенство (взятое вместое с $k>1/R$) оказывается достаточным условием, а не только необходимым

-- Вт дек 13, 2011 09:25:38 --

svv в сообщении #514973 писал(а):

Только я умею правильно писать каппу: $\varkappa$.

Я тоже умею, но не буду, вот не буду и все

[neo66]

svv в сообщении #514973 писал(а):

neo66 писал(а):

Второе равенство является следствием первого.

Увы, не всегда. Контрпример привёл Padawan -- это винтовая линия. Для нее $k'=0$. И мы можем взять $R=1/k$. В таком случае из равенств, которые привел Oleg Zubelevich:

$$\left(\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}\right)^2+1=R^2k^2(s),\quad \left(\frac{k'(s)}{\ae(s)k^2(s)}\right)'=\frac{\ae(s)}{k(s)}\qquad$$

первое выполняется, а второе нет.

Согласен, надо еще требовать $k'(s)\ne 0$. Точная формулировка такова:

Если выполняется $k'(s)\ne 0$ и выполнено равенство $\Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}\Big)^2+1=R^2k^2(s)$ для всех $s$, то кривая лежит на некоторой сфере радиуса $R$.

Если кривая лежит на сфере радиуса $R$, то для всех $s$ выполнено равенство $\Big(\frac{k'(s)}{\ae(s)k(s)}\Big)^2+1=R^2k^2(s)$.

[svv]

(Oleg Zubelevich)

Oleg Zubelevich писал(а):

Я тоже умею, но не буду, вот не буду и все

Очень жаль, а то бы мы с Вами организовали закрытое общество "Фи Эпсилон Каппа", куда входят люди, правильно набирающие буквы $\varphi \;\varepsilon \; \varkappa$.