Несколько заданий, связанных с разложением на множители

[BENEDIKT]

Вновь хотелось бы попросить помощи.

1) Задание: $4a^2-12ab+5b^2$
Ответ из учебника:
$(2a-5b)(2a-b)$
Попытки решения:
а) $4a^2-12ab+5b^2=2a^2+2a^-12ab+5b^2+4b^2-4b^2=(2a^2-12ab+3b^2)+2a^2+2b^2$

б) $4a^2-12ab+5b^2=(4a^2-6ab)+(5b^2-6ab)=2a(2a-3b)+b(5b-6a)$

в) $4a^2-12ab+5b^2=4a^2-8ab-4ab+b^2+4b^2=(4a^2-8ab+b^2)-(4ab-4b^2)$

2) Задание: $25a^2-20ab-12b^2$
Ответ из учебника:
(5a-6b)(5a+2b)
Попытка решения:
$25a^2-20ab-12b^2=16a^2+9a^2-12ab-8ab-8b^2-4b^2=(9a^2-12ab-4b^2)+16a^2-8ab-8b^2=(3a-2b)^2$

3) Задание: $a^2+7a+10$
Ответ из учебника:
(a+2)(a+5)
Попытка решения:
$a^2+7a+10=a^2+6a+a+9+1=(a^2+6a+9)+(a+1)=(a+3)^2+(a+1)$

[ИСН]

Вы про квадратное уравнение слышали?

[BENEDIKT]

Да. Но решить необходимо, разложив на множители посредством выделения полного квадрата (1 и 2) и представив один из членов в виде суммы подобных слагаемых (задание 3).

[ewert]

Конкретнее. После деления, например, на $b^2$ и замены $x=\frac{a}{b}$ вопрос о разложении на множители разрешается автоматически. После чего достаточно вернуться обратно, умножив полученное разложение снова на $b^2$.

-- Пн дек 12, 2011 00:59:35 --

BENEDIKT в сообщении #514546 писал(а):

Но решить необходимо, разложив на множители посредством выделения полного квадрата

Это какое-то явное методологическое извращение.

[ИСН]

Как обычно: сделать нормальным методом, посмотреть, какой там полный квадрат, вернуться назад и сделать через него, промежуточные расчёты уничтожить.

[BENEDIKT]

ewert в сообщении #514547 писал(а):

Конкретнее. После деления, например, на $b^2$ и замены $x=\frac{a}{b}$ вопрос о разложении на множители разрешается автоматически. После чего достаточно вернуться обратно, умножив полученное разложение снова на $b^2$

Вся проблема в ответах, даваемых автором учебника. Я не могу к ним придти.

Цитата:

Это какое-то явное методологическое извращение

Увы. Но это не просто каприз.

ИСН в сообщении #514551 писал(а):

сделать нормальным методом

Что Вы имеете в виду?

[Someone]

BENEDIKT в сообщении #514542 писал(а):

1) Задание: $4a^2-12ab+5b^2$
Ответ из учебника:
$(2a-5b)(2a-b)$
Попытки решения:
а) $4a^2-12ab+5b^2=2a^2+2a^-12ab+5b^2+4b^2-4b^2=(2a^2-12ab+3b^2)+2a^2+2b^2$

б) $4a^2-12ab+5b^2=(4a^2-6ab)+(5b^2-6ab)=2a(2a-3b)+b(5b-6a)$

в) $4a^2-12ab+5b^2=4a^2-8ab-4ab+b^2+4b^2=(4a^2-8ab+b^2)-(4ab-4b^2)$

Ни в одном из случаев не вижу попытки выделения полного квадрата.

BENEDIKT в сообщении #514542 писал(а):

2) Задание: $25a^2-20ab-12b^2$
Ответ из учебника:
(5a-6b)(5a+2b)
Попытка решения:
$25a^2-20ab-12b^2=16a^2+9a^2-12ab-8ab-8b^2-4b^2=(9a^2-12ab-4b^2)+16a^2-8ab-8b^2=(3a-2b)^2$

Также не вижу выделения полного квадрата. Рекомендации разбивать какой-либо член на два слагаемых не было.

В обоих случаях результат получается мгновенно, если буквально последовать совету: выделить полный квадрат.

BENEDIKT в сообщении #514542 писал(а):

3) Задание: $a^2+7a+10$
Ответ из учебника:
(a+2)(a+5)
Попытка решения:
$a^2+7a+10=a^2+6a+a+9+1=(a^2+6a+9)+(a+1)=(a+3)^2+(a+1)$

Ну здесь-то никто не требовал квадрат выделять. А слагаемые надо подобрать так, чтобы после попарной группировки и вынесения общих множителей в каждой паре в скобках остались одинаковые выражения.

[Joker_vD]

Пожалуй, стоит рассказать человеку, что такое "выделить полный квадрат".

$$4x^2 + 12x - 9 = (2x)^2 + 2\cdot3\cdot2x - 9 + (3^2 - 3^2) = (2x+3)^2 - 9 - 3^2 = (2x+3)^2 - 18$$

[spaits]

$4a^2-12ab+5b^2=4a^2-12ab +9b^2-4b^2=(2a-3b)^2-4b^2=...$
Дальше понятно? Продолжите.

[Someone]

(spaits)

spaits, Вы нарушаете правила, Выкладывая по существу полное решение.

[spaits]

Someone,

(Оффтоп)

там ему еще разбираться ой-ой.

[BENEDIKT]

Спасибо большое всем за помощь. C 1 и 3 разобрался. 2 задание пока не могу решить.
Принцип выделения полного квадрата ясен, но придти к нужному ответу не удаётся.
Тем паче, что в данном примере:
$25a^2-20ab-12b^2$ даже полный квадрат разности не выделить, ибо по формуле перед $b^2$ должен стоять "+": $(a^2-2ab+b^2)$
Как избавиться от минуса перед $12b^2$? Представить $-12b^2$ как $+(-12b^2)$? Но ведь отрицательное число невозможно получить посредством возведения в квадрат?
Может, прибавить некоторое число к $-12b^2$ (дабы сделать его положительным) и вычесть то же число?

-- Пн дек 12, 2011 16:15:25 --

Так и сделал. С ответом сошлось. Ещё раз благодарю всех за помощь!

[Shadow]

Не избалвляйтесь от минуса! Сделайте его еще больше!

[Praded]

Прибавьте и вычтите $4b^2$.

[BENEDIKT]

Собственно, я сделал следующее:
$25a^2-20ab-12b^2=25a^2-20ab-12b^2=16b^2-16b^2=(25a^2-20ab+4b^2)-16b^2=(5a-2b)^2-16b^2=(5a-2b-4b)(5a-2b+4b)=(5a-6b)(5a+2b)$
Вроде получилось. Но хотел бы кое-что прояснить для ликбеза.

Shadow в сообщении #514746 писал(а):

Не избалвляйтесь от минуса! Сделайте его еще больше!

Но как тогда применить формулу $ a^2-2ab+b^2$? Ведь перед $b^2$ в рассматриваемом выражении стоит минус?

Praded в сообщении #514754 писал(а):

Прибавьте и вычтите $[math]$4b^2$.

Дабы получить $-16b^2$ в качестве $b^2$? Но здесь я также не могу понять, как в этом случае применить формулу $ a^2-2ab+b^2$? Ведь перед $b$ должен стоять "+"?