Графики волновой функции водородоподобных атомов

[computer]

Подскажите пожалуйста,какими аналитическими функциями
описываются графики волновой функции (или вероятности
нахождения электрона) водородоподобных атомов,
(на оси X расстояние от ядра).То есть в 1s,2s,3s...
состояниях со сферической симметрией.Приводятся графические
изображения где количество максимумов пропорционально
квантовому числу n,и они на расстоянии примерно
1 боровский радиус,4,9,16,и так далее.Но как это описать формулами?
В Википедии нашел статью о решении уравнения Шредингера,
но если приравнять нулю квантовые числа l,m (кроме n)
в уравнениях,все равно не получаются такие графики.

[Munin]

Откройте любой учебник по квантовой механике, Ландау, Давыдова - там эти функции приведены в явном виде. Например, в Давыдове приведены радиальные волновые функции первых трёх уровней с подставленными обобщёнными полиномами Лагерра:
$f_{1s}(\rho)=2e^{-\rho}$

$f_{2s}(\rho)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(1-\dfrac{\rho}{2}\Bigr)e^{-\rho/2}$

$f_{3s}(\rho)=\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\bigl(1-\tfrac{2}{3}\rho+\tfrac{2}{27}\rho^2\bigr)e^{-\rho/3}$
Для нахождения вероятности надо эти функции возвести в квадрат, и в зависимости от того, что вам нужно, помножить или не помножить на $4\pi\rho^2.$

Вы можете рассчитать полиномы Лагерра сами - это несложно, просто рекуррентные формулы - или найти в сети их явный вид для большего числа уровней, если вам интересно.

-- 11.12.2011 15:15:44 --

P. S. Будьте внимательны и осторожны, обозначения в разных книгах различаются, так что, например, $R$ в Ландау и Давыдове, $\rho$ в Ландау и Давыдове - разные вещи.

[computer]

Примерно такие же функции получаются и из Википедии (понятно она не авторитет).
Но что смущает - функция exp(-r) имеет максимум при r = 0,почему тогда на графиках
состояния 1s максимум рисуют на расстоянии боровского радиуса,а возле ядра убывает до нуля?

[Droog_Andrey]

Потому что это разные максимумы. Который в начале координат - это максимум плотности, а который на расстоянии боровского радиуса - это максимум вероятности нахождения на определённом расстоянии:

Munin в сообщении #514258 писал(а):

в зависимости от того, что вам нужно, помножить или не помножить на $4\pi\rho^2.$

[Munin]

Потому что домножают на $4\pi\rho^2.$ До умножения - это пространственная плотность (на единицу объёма), после умножения - радиальная (на единицу радиуса). Понятно, что так как возле ядра радиус приближается к нулю, то и объём на единицу радиуса тоже приближается к нулю, и в этот объём (при неубывающей пространственной плотности) просто ничего не помещается.

Графики, кстати, рисуют и те и другие. Вот, например, в учебнике Коэн-Таннуджи (очень подробный, кстати, всё разжёвывающий и обсасывающий) в главе VII рисунок 6: