Длина замкнутой фигуры

[analitik777]

Вот имеется уравнение: $x^4+y^4=1$. Требуется найти периметр данной фигуры. Можно воспользоваться полярными координатами, выразить радиус и подставить в формулу для длинны. Кто-нибудь знает метод попроще? Известно что длина не выражается в виде элементарных функций.

[dmd]

Навскидку по рисунку длина кривой должна получиться $4+\pi$. Интересно, какое значение будет правильным.

[AKM]

analitik777 в сообщении #514017 писал(а):

Можно воспользоваться полярными координатами,

Хоть полярными, хоть декартовыми, но тема для раздела "Помогите решить". Куда и перемещаю.

-- 10 дек 2011, 23:23 --

Странно, dmd вроде заинтересовался, гипотезу выдвинул, картинку не поленился нарисовать, а численно не проверил... Или проверил и не рассказал

[Утундрий]

Воспользуйтесь $\[ x = \sin ^2 t,y = \cos ^2 t \] $

[ИСН]

dmd кагбе намекает, что перед нами плод противоестественной связи круга и квадрата

[Утундрий]

Скорее, плод усекновения квадрата ровно наполовину.

[vvvv]

analitik777 в сообщении #514017 писал(а):

Вот имеется уравнение: $x^4+y^4=1$. Требуется найти периметр данной фигуры. Можно воспользоваться полярными координатами, выразить радиус и подставить в формулу для длинны. Кто-нибудь знает метод попроще? Известно что длина не выражается в виде элементарных функций.

Ответ: 7.01765

[AKM]

Утундрий в сообщении #514074 писал(а):

Воспользуйтесь $\[ x = \sin ^2 t,y = \cos ^2 t \]$

Как?
$(\sin^2t)^4+(\cos^2t)^4=\text{один}?$

[Утундрий]

Упс, переклинило. Степень не два, а одна вторая, конечно.

-- Вс дек 11, 2011 01:58:54 --

$\[ L = 4 \cdot \int\limits_0^{{\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4}} {\sqrt {\frac{1} {{\sin t}} - \sin t + \frac{1} {{\cos t}} - \cos t} } \cdot dt{\text{ = 7}}{\text{.0176979435640416542}}... \]$