Доказать тождество (векторные произведения)

[tdayne]

Всем привет, как можно доказать такое тождество:
$[[a,b],[c,d]]=(a,c,d)b-(b,c,d)a$

где $a,b,c$, вектора.

Я так понимаю нужно расписывать по координатам каждый вектор: $a_x a_y a_z$ далее писать векторное произведение в координатах, раскрывать скобки, но получается каша, и смешанным произведением(из правой части) там даже не пахнет... Есть какие-нибудь идеи?

[Mathusic]

Умножить обе части скалярно на $[a,b]$, например, учитывая $\left ([x,y],z \right)=(x,y,z).$

[ewert]

$[[a,b],[c,d]]=-[[c,d],[a,b]]=-a([c,d],b)+b([c,d],a)$

(формула "бац минус цап"). Теперь -- циклическая перестановка в смешанных произведениях.

[Утундрий]

$\[ \begin{gathered} \left( {{\mathbf{a}} \times {\mathbf{b}}} \right) \times \left( {{\mathbf{c}} \times {\mathbf{d}}} \right) = \left( {{\mathbf{e}}_i \varepsilon _{ikl} a_k b_l } \right) \times \left( {{\mathbf{e}}_j \varepsilon _{jmn} c_m d_n } \right) = {\mathbf{e}}_s \varepsilon _{sij} \varepsilon _{ikl} \varepsilon _{jmn} a_k b_l c_m d_n \mathop = \limits^1 \hfill \\ \varepsilon _{sij} \varepsilon _{ikl} \varepsilon _{jmn} = \varepsilon _{ikl} \left( {\delta _{sm} \delta _{in} - \delta _{sn} \delta _{im} } \right) = \delta _{sm} \varepsilon _{nkl} - \delta _{sn} \varepsilon _{mkl} \hfill \\ \mathop = \limits^1 \left( {{\mathbf{e}}_m \varepsilon _{nkl} - {\mathbf{e}}_n \varepsilon _{mkl} } \right)a_k b_l c_m d_n = {\mathbf{c}}\left( {{\mathbf{d}},{\mathbf{a}},{\mathbf{b}}} \right) - {\mathbf{d}}\left( {{\mathbf{c}},{\mathbf{a}},{\mathbf{b}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \] $

гм...

$\[ \begin{gathered} \varepsilon _{sij} \varepsilon _{ikl} \varepsilon _{jmn} = \varepsilon _{jmn} \left( {\delta _{sl} \delta _{jk} - \delta _{sk} \delta _{jl} } \right) = \delta _{sl} \varepsilon _{kmn} - \delta _{sk} \varepsilon _{lmn} \hfill \\ \mathop = \limits^2 \left( {{\mathbf{e}}_l \varepsilon _{kmn} - {\mathbf{e}}_k \varepsilon _{lmn} } \right)a_k b_l c_m d_n = {\mathbf{b}}\left( {{\mathbf{a}},{\mathbf{c}},{\mathbf{d}}} \right) - {\mathbf{a}}\left( {{\mathbf{b}},{\mathbf{c}},{\mathbf{d}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \] $

Ага.

$$\[ \left( {{\mathbf{a}} \times {\mathbf{b}}} \right) \times \left( {{\mathbf{c}} \times {\mathbf{d}}} \right) = {\mathbf{c}}\left( {{\mathbf{d}},{\mathbf{a}},{\mathbf{b}}} \right) - {\mathbf{d}}\left( {{\mathbf{c}},{\mathbf{a}},{\mathbf{b}}} \right) = {\mathbf{b}}\left( {{\mathbf{a}},{\mathbf{c}},{\mathbf{d}}} \right) - {\mathbf{a}}\left( {{\mathbf{b}},{\mathbf{c}},{\mathbf{d}}} \right) \]$$

Стало быть.

[ewert]

Утундрий в сообщении #514063 писал(а):

гм...

абалдеть...