Сумма и разность двух степенных рядов

[kojemiaka]

Добрый день,

Есть две суммы: $S_1 = \sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac {a^{2k}}{(2k)!} $ и $S_2 = \sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac {a^{2k+1}}{(2k+1)!} $.

Нужно найти их сумму и разность и из этого вычислить $S_1$ и $S_2$.

Есть общая формула суммы стипенного ряда: $\sum\limits^{\infty}_{k=0} \frac {a^k}{k!} = e^a $.

Насколько я понимаю, мы её можем использовать для первой суммы, т.к. знаменатель при $k=0$ равен единице. Насчет второй суммы я не уверен, т.к. там знаменаель останется равным $a$ при $k=0$.

Правильно ли я рассуждаю и чему равен ответ второй суммы, если для первой это $e^a$?

[Mathusic]

$S_1+S_2=e^a, S_1-S_2=e^{-a}.$

[kojemiaka]

Ответ найден.
Если разложить суммы в ряд (через ряд $e^x$), потом взять их сумму и разность, то мы заметим, что $S_1+S_2=e^x$ а $S_1-S_2=e^{-x}$.

Через полученную систему находим, что $S_1 = ch(a)$ и $S_2 = sh(a)$.