Логарифмическое уравнение

[Simon666]

Всем доброго вечера!

Решал сложную задачу по химии, и задача свелась к решению простого на вид логарифмического уравнения, которое вызвало затруднение в решении задачи. Видно, я позабыл школьный курс математики... а может, мы такого и не решали

Уравнение прилагается

$\ln(y)=y+b$

y - неизвестное, b - некоторая константа

Прошу помочь в решении данного уравнения!

[Sonic86]

Уравнение трансцендентное, в элементарных функциях не решается. В зависимости от $b$ может быть от 0 до 2-х решений (исследовать нахождением промежуточного случая, когда корень один). Уравнение решается численными методами, либо в рядах, либо, быть может, через $W$-функцию (забыл название Ламберта, что-ли (да, она: http://ru.wikipedia.org/wiki/W-%D1%84%D ... 1%82%D0%B0))

[myra_panama]

вы знаете что такое графики функции ....?
если да , то нарисуйте графики функции $\ln x$ и $x+b$ (), потом может что то случится..

[ИСН]

В химии таких уравнений не бывает.
Разве что в сочинительной ("...а молярная масса у него равна числу этажей в том небоскрёбе, из окна которого выпал мужик, который...")

[Евгений Машеров]

Численно. Или графически.
Постройте график $\ln y - y$ и посмотрите, в каких точках он равен b. Если ни в одной - Вам не повезло. Если в двух - постарайтесь из содержательных соображений определить, какое решение Вам нужно, или используйте оба. Если в одной - то вот оно, Ваше решение.
Графическая точность может быть достаточна для практических нужд, погрешность построения по сравнению с точностью взвешивания реагентов и т.п. часто пренебрежима (собственно, всё применение номографии на этом стояло). Но если это не так - уточнить численно. По Ньютону, скажем.
$y_{n+1}=y_n - \frac {\ln y_n-y_n-b}{1/y_n-1}$

[Praded]

Вряд ли в химии м.б. отрицательные величины. А график $\ln y-y$ не даёт положительных $b$.

[bot]

А химия не позволяет записать уравнение в виде $y=\ln y+b$?

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Ну отчего же? Логарифм концентрации какой-нибудь. Вполне себе отрицателен. Химическая кинетика - тоже химия.

-- 10 дек 2011, 10:04 --

bot

В виде $y=\ln y +b$ не позволяет, но не химия. Позволяет в виде $y=-b+ \ln y$
Но что это принципиально меняет?

[Praded]

Евгений Машеров в сообщении #513836 писал(а):

(Оффтоп)

Ну отчего же? Логарифм концентрации какой-нибудь. Вполне себе отрицателен. Химическая кинетика - тоже химия.

А $\ln y-y$ что может выражать?
Также $b$ константа.

[jetyb]

ИСН в сообщении #513543 писал(а):

В химии таких уравнений не бывает.
Разве что в сочинительной ("...а молярная масса у него равна числу этажей в том небоскрёбе, из окна которого выпал мужик, который...")

Ну почему же?
К примеру, вещество A может иметь свой период полураспада и через некоторое время превращаться в вещество B. Количество полученного вещества B будет иметь экспоненциальную зависимость от времени. Ну и т.к. мы перешли от основания 0.5 к основанию $e$, имеющее смысл время будет отрицательным.

Ну и допустим также что есть вещество C, которое образуется в линейной зависимости от времени. Ну и после того как количество B будет равно количеству C что-то поизойдет.
Чем не задача?

[Евгений Машеров]

Или электрохимия. Логарфмические зависимости там есть. И какая-нибудь сумма или разность перенапряжения, которое выражается через логарифм от плотности тока, с напряжением, по закону Ома пропорциональном току, может быть осмыслена.
Впрочем, не вижу особого смысле критиковать постановку задачи - не зная задачу сколько-нибудь, содержательную критику выстроить затруднительно.
Так что ограничусь тем, что, для уравнения в представленном виде, простого решения нет (решение через функцию Ламберта, может, и удовлетворяет "в замкнутом виде", но уж никак не "простое"), а приближённое решение может быть получено довольно легко.

[bot]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #513836 писал(а):

Позволяет в виде $y=-b+\ln y$

Дык и я ровно о том же: уравнение $\ln y-y=b$ неразрешимо при положительной константе $b$, а $y-\ln y=b$ - при отрицательной.

[Mike1]

Может попробовать разложить левую часть в ряд тейлора...

[ИСН]

jetyb в сообщении #513844 писал(а):

Ну и допустим также что есть вещество C, которое образуется в линейной зависимости от времени. Ну и после того как количество B будет равно количеству C что-то поизойдет.
Чем не задача?

Вот это и есть сочинительная задача. В линейной зависимости от времени ничего не образуется. Если только не подгонять линейкой начальный участок другой, несравненно более медленной экспоненты. (Или не экспоненты.) Да, пожалуй, так можно.

[sergei1961]

Да решение выражается через функцию Ламберта. Или исторически более точно Эйлера-Ламберта. Кажется так, если не ошибся на скорую руку:

$$ y=-W(-\exp(-b)) .$$

Для этой функции есть графики, разложения в ряды, асимптотики-всё что угодно.
Если интересно-есть хорошая книга Сайкова кажется и др., понятная.