Помогите решить задачу из начал "Аналит.геометрии"

[gefest_md]

Помогите решить:
1). К точке М приложены три ненулевых вектора x, y, z, сумма которых равна нулю. Зная углы α, β, γ между векторами y и z, z и x, x и y, найти отношения модулей этих векторов |x| : |y| : |z|.

2). Векторную алгебру можно использовать при решении задач эвклидовой геометрии, и может быть и наоборот. Каким образом обосновано такое использование если, например, в векторной алгебре вектор (АВ+ВС) равен вектору (АС), а в евклидовой геометрии треугольника сумма отрезков (АВ) и (ВС) больше отрезка (АС). Что я упускаю из виду?

Добавлено 02.02.2007:
Все о чем я только догадываюсь это что определенную задачу нужно решать либо только с помощью одного метода (векторная алгебра), либо только с помощью другого метода (эвклидова геометрия), не чередуя эти методы в процессе решения задачи.

Остается следующий вопрос. Пусть имеется высказывание из эвклидовой геометрии и предположим что мы не можем сказать что оно истинно или не можем ее доказать в рамках эвклидовой геометрии. Но мы доказываем ее с помощью векторной алгебры. Будет ли это означать, что оно станет истинной или доказуемой в эвклидовой геометрии:


3). Из точки О выходят два вектора ОА=а, ОВ=b. Найти какой-нибудь вектор ОМ, идущий по биссектрисе угла АОВ.
Ответ: OM = (a / |a|) + (b / |b|).
Или переформулируйте её так, чтобы я лучше себе уяснил условия задачи и решил её самостоятельно.

Добавлено 10.02.2007:
4). На плоскостях координат найти точки, которые вместе с началом координат служили бы вершинами правильного тетраэдра с ребром, равным единице, лежащего в первом октанте. (Прямоугольная система координат в пространстве.)
Как рисуется такой тетраэдр ?

[Someone]

А как нарисовать, что сумма векторов равна нулю?

[sexstant]

Найти площадь треугольника по известной формуле двух сторон и углу между ними. Будет три формулы.
Они и дадут искомое соотношение
\sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma

[gefest_md]

sexstant
А с помощью векторной математики как будет?

[sexstant]

Так с помощью ее то и получено. Причем векторная математика использовалась как минимум дважды:
1) Someone не зря вас спросил о сумме векторов.
2) Вспомните векторное произведение.

[RIP]

А еще проще вспомнить теорему синусов для треугольника. Поэтому, учитывая подсказку Someone, ответ пишется сразу.

[gefest_md]

У меня есть еще вопросы. Смотрите вступительное сообщение, пункты 2) и 3). Стрелки для обозначения вектора я подразумеваю.

[RIP]

3) У Вас же есть ответ. Подсказка: длина вектора $\frac{\vec x}{|\vec x|}$ равна 1 для любого $\vec x\ne\vec0$.

2) Честно говоря, не понял вопрос.

[Capella]

Скорее всего второй вопрос надо понимать так:

Дан, к примеру, прямоугольный треугольник $ABC$. Представляя катеты как два вектора $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ получаем по сложению векторов вектор $\overrightarrow{AC}$ (гипотенуза). Однако беря модули векторов (т.е. их длины) равенства уже нет (3 аксиома метрики). Как такое возможно?
А возможно из-за того, что векторы эти линейно-независимые и их компоненты никак не связаны. В геометрической интерпритации всегда можно провести прямую на плоскости, соединяющую две различные точки.
В одном случае складываются числа, а в другом векторы.

[Lion]

В задаче 3) вспомните, как складываются вектора, а также тот факт, что параллелограмм с равными сторонами является ромбом, а значит, его диагонали --- биссектрисы углов.

[gefest_md]

Добавил кое-что в пункте 2) из вступительного сообщения.

[PAV]

2) Просто дело в том, что при сумме векторов их длины не обязательно складываются. Вот и все. А вообще упомянутые методы никак друг с другом не конкурируют, можете свободно использовать те, которые удобнее, только если делать это правильно.

[Lion]

Те векторы, которые изучаются в школе, являются частью евклидовой геометрии, поэтому мы вольны использовать их в любых задачах, когда сочтем нужным. Не очень понятно Ваше затруднение, связанное с этим вопросом вообще и с задачей 3) в частности. Парой постов выше я объяснил, как ее решить.

[gefest_md]

Помогите пожалуйста решить пункт 4) во вступительном сообщении.

[gefest_md]

Задача: Доказать, что сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей правильного многоугольника равна n^2r^2, где n – число сторон многоугольника, а r – радиус описанной окружности.
Нашёл сумму квадратов диагоналей. Как найти сумму квадратов всех сторон?