Обозначения:

- метрика в


- открытый шар радиуса

.
Теорема 1
Корни уравнения

непрерывно зависят от коэффициентов уравнения

, а отображение

является
гомеоморфизмом некоторой окрестности

на окрестность

.
Доказательство:
По следствию из теоремы Безу уравнение

равносильно уравнению

, при этом






Определитель Якобиана равен

,
он равен

в том и только том случае, когда

является корнем многочлена

,
а следовательно

является кратным корнем уравнения

, чего, по условию, быть не может.
Поскольку определитель не нулевой, то существует обратная матрица. Таким образом отображение

является локальным гомеоморфизмом из некоторой окрестности точки

на некоторую окрестность точки

.
В силу доказанного аналогичные утверждения верны для отображений:





и, соответственно, для отображений





Композиция этих отображений локально совпадает с

и является гомеоморфизмом.
Таким образом для любой точки

из

существует достаточно малая окрестность

, в которой

является гомеоморфизмом
на окрестность

точки

.

Определение.
Для фиксированного

введем

, где

элемент группы перестановок

.
Предложение 1
Для любого

такого, что

, любых неравных перестановок

и

из

,

.
Доказательство:
Пусть

,

.

.

.

.
Получаем, что

, таким образом

.

Утверждение

является накрытием.
Доказательство:
Согласно теореме 1 для любого

из

существует

такое, что

является гомеоморфизмом
на

. В силу симметрии можно выбрать одинаковое

для всех

.
Согласно предложению 1 для любого

из

существует

такое, что для любых неравных перестановок

и

из

,

Пусть

.
Очевидно, что

.

в силу выбора

,
откуда

.
Для любого

из

верно, что

является набором

точек (следует из того, что единственному
набору коэффициентов уравнения соответствует единственный набор корней).

является гомеоморфизмом на

.

.
Из перечисленного выше следует, что

и то, что

является накрытием.
