распределение Пуассона и случайный поток событий

[Zo]

В одной книжке прочитал, что распределение Пуассона можно вывести из следующих препосылок:
1) события происходят в любые моменты времени
2) два или более событий не могу произойти одновременно
3) в непересекающихся временных интервалах числа событий независимы.
Тогда число событий имеет распределение Пуассона. Подскажите, пожалуйста, где можно прочитать (на русском языке), как выводится распределение Пуассона из указанных предпосылок.

[PAV]

Это называется "простейший поток событий". Ближе всего относится к системам массового обслуживания. Вывод опирается на приближение Пуассона для схемы Бернулли, когда $np\to\lambda=\mbox{\rm const}$.

Добавлено спустя 9 минут 15 секунд:

Более строго, вместо условия (2) нужно написать так: если $\Delta t$ - малый промежуток времени, то вероятность 1 события за этот промежуток должна быть равна $\mu\cdot \Delta t + o(\Delta t)$, где $\mu$ - заданная константа (интенсивность потока); вероятность 0 событий за этот промежуток должна быть равна $1-\mu\cdot \Delta t + o(\Delta t)$; и, соответственно, вероятность более одного события должна быть равна $o(\Delta t)$. Естественно, все это при $\Delta t\to 0$.

Тогда, если дан промежуток времени длины $t$, то нужно взять большое число $n$ и разбить этот промежуток на $n$ частей длины $t/n$ каждая. Когда мы ищем распределение числа событий на этом промежутке, то вероятность более одного события хотя бы на одном промежутке стремится к нулю быстрее, чем длина промежутка. С этой точностью можно приблизить эксперимент схемой Бернулли, когда одно испытание - это один промежуток, всего их $n$, успех - это одно событие на этом промежутке, вероятность успеха $\frac{\mu t}{n}$, неудача - ни одного события. При $n\to\infty$ имеем в точности сходимость распределения Бернулли к распределению Пуассона по соответствующей предельной теореме.

Добавлено спустя 1 минуту 38 секунд:

Да, и еще отдельным условием нужно потребовать, что распределение числа событий на некотором промежутке зависит только от его длины, но не от расположения. Это называется "однородность". Неоднородные потоки тоже можно рассматривать, но для них интенсивность $\mu$ будет не константой, а функцией от $t$.

[Zo]

PAV писал(а):

При $n\to\infty$ имеем в точности сходимость распределения Бернулли к распределению Пуассона по соответствующей предельной теореме.

Но тогда получится, что получится случайная величина, распределенная по Пуассону с параметром $\mu t$, а не с $\mu$

[PAV]

Разумеется. Ведь распределение числа событий, произошедших на интервале, должно зависеть от величины этого интервала. Чем больше интервал, тем больше в среднем произойдет событий.

Добавлено спустя 42 секунды:

$\mu$ - интенсивность потока событий в единицу времени

[Zo]

PAV, спасибо за объяснения

[PAV]

На самом деле, это также согласуется с тем, что сумма независимых величин, имеющих распределение Пуассона, также распределена по Пуассону с параметром, равным сумме параметров. Иначе не могло быть, так как число событий, произошедших на двух непересекающихся интервалах, равна сумме числа событий на этих интервалах по отдельности. Обратите внимание, что интервалы не должны пересекаться и случайные величины при этом будут независимы, все это существенно.

Также отсюда легко выводится, что распределение времени до первого события - показательное. Можете еще вспомнить про свойство отсутствия последействия для показательного закона и его естественную интерпретацию для этой задачу.

[Zo]

PAV писал(а):

Также отсюда легко выводится, что распределение времени до первого события - показательное. Можете еще вспомнить про свойство отсутствия последействия для показательного закона и его естественную интерпретацию для этой задачу.

Про последействие для этой задачи - время ожидание следующего события не зависит от того, сколько времени прошло с момента последнего события.

[PAV]

Zo писал(а):

Про последействие для этой задачи - время ожидание следующего события не зависит от того, сколько времени прошло с момента последнего события.

Правильнее сказать - распределение времени ожидания не зависит

[LinuXOR]

Доброго времени суток,уважаемые участники форума!
Недавно читая учебник по теор.вер.и мат.статистике
В.Е. Гмурмана задался
таким вопросом касательно формулы распределения
Пуассона: Каким образом можно "наочно" доказать,
что при сравнении Pt(1) и Pt(k>1) можно утверждать,что для
малых значений t верояность появления более одного события
пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления
одного события из чего и следует свойство ординарности
для потока событий.
Как разложить в ряд Маклорена функцию
exp(-lt) -это и ежу понятно . А вот как применить это разложение
для разности 1-[exp(-lt)+lt*exp(-lt),чтобы после элементарных
преобразований получить ряд:(lt)^2/2+... я пока что не понял.
В этом и состоит моя проблема относительно "наочности"
доказательства.Прошу прощения за любобытсво и глуповатый вопрос

[reader_st]

Zo

про распределение Пуассона (и его вывод) очень подробно написано вот в этой книге http://lib.mexmat.ru/books/21287 , если, конечно, вопрос не потерял еще актуальность.

[PAV]

LinuXOR писал(а):

для малых значений t верояность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления
одного события из чего и следует свойство ординарности
для потока событий.

Это не доказывается, а изначально постулируется. Если угодно, входит в определение рассматриваемой вероятностной модели. Если та реальная ситуация, которую мы исследуем, не будет удовлетворять этим условиям - значит, выводы данной модели могут быть к этой ситуации неприменимы, только и всего.

[LinuXOR]

А я то думал,что это утверждение именно доказывается на основе
сравнения рядов [lt*exp(-lt)] и (lt)^2/2+...,тогда возникает еще один вопрос из разряда глупых:А зачем тогда автору весь этот сыр-бор с разложением ряд Маклорена?
************************************************************************************************
Хотя,простите, я не совсем точно выразил суть моей проблемы: Автор учебника
последовательно доказывает,что формула (lt)^k *exp(-lt)/k! отражает все свойства
простейшего потока и ординарность в том числе. Так вот именно с элементарными
преобразованиями формулы 1-[exp(-lt)+lt*exp(-lt)] у меня и возникла проблема.
Не могли бы Вы в общих чертах описать в чём они заключаются

[нг]

LinuXOR
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).