Стереометрия 10 класс

[yonkis]

В пространственном четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Докажите, что прямые AB и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков BC и AD.

не пойму с чего начать

[nnosipov]

А попробуйте векторным способом. Косинус угла можно найти через скалярное произведение.

[Dave]

Можно геометрически. Провести через точки $M$ и $N$ прямые, параллельные $AB$ и $CD$. Какой четерёхугольник они образуют?

[Keter]

Вы уверены, что условие задачи правильное, по мне так $MN$ вообще не пересекает ни $AB$, ни $CD$.

[yonkis]

Keter
в учебнике так написано

[Keter]

Что за учебник не подскажите?

[yonkis]

Keter
Атанасян 10-11

[Keter]

Какая задача по номеру или в каком параграфе?

[yonkis]

номер 47

[Dave]

Keter в сообщении #512999 писал(а):

Вы уверены, что условие задачи правильное, по мне так $MN$ вообще не пересекает ни $AB$, ни $CD$.

Может это будет для Вас новостью, но угол можно измерять не только между пересекающимися, но и между скрещивающимися прямыми. Так что условие 100% правильное.

[Keter]

$M$ - середина $BC$. $N$ - середина $AD$. Отметим точки: $P$ - середина $BD$, $S$ - середина $AC$.

Докажи, что $NPMS$ - ромб.

$MN$ - диагональ ромба, то есть является биссектрисой угла $\angle PMN = \angle SMN$.

Так как $PM||DC$, то угол между прямыми $CD$ и $MN$ равен углу между прямыми $MP$ и $MN$. Аналогично угол между прямыми $AB$ и $MN$ равен углу между прямыми $MS$ и $MN$.

Так как угол $\angle PMN$ острый (т.к. это половина $\angle PMS$), то угол между прямыми $MP$ и $MN$ равен $\angle PMN$, который равен $\angle SMN$, а это острый угол, который является углом между прямыми $NM$ и $MS$, т.е. углы между прямыми $MP$ и $MN$ и $MN$ и $MS$ равны, а значит равны и углы между $AB$ и $MN$, $CD$ и $MN$.

[yonkis]

т.к точки N, P, M, S середины сторон четырехугольника, то MNPS - параллелограмм, а откуда взять равенство противоположных сторон?

[Keter]

$PN$ и $MS$ средние линии в треугольниках $ABD$ и $ABC$ соответственно, то есть $MS=PN$

Также аналогично рассматриваете др. тр-ки. и доказываете, что $PM=NS$.

По условию у Вас $AB=CD$.

Ну а значит $MS=PN=PM=NS$

[yonkis]

все понял, спасибо большое!