Перевести H в полярные координаты.

[XenoX]

Здравствуйте, есть гамильтониан, требуется перевести его в полярные координаты, чувствую, что что-то не до конца понимаю, проверьте пожалуйста.
$ H = -\tanh y + A_1sech^2y\cos(N_1x) + C_2y \\ x = r\cos\phi \ y = r\sin\phi \\ H = -\tanh (r\sin\phi) + A_1sech^2(r\sin\phi)\cos(N_1r\cos\phi) + C_2r\sin\phi \\ \dot{r} = - \frac {\partial H}{\partial \theta}, \\ \dot{\phi} = \frac{\partial H}{\partial r} \\ \dot{r} = -A_1sech^2(r\sin\phi)\sin(N_1 r\cos\phi)N_1r\sin\phi + C_2r\sin\phi \\ \dot{\phi} = sech^2(r\sin\phi)\times[A_1\tanh(r\sin\phi)cos(N_1r\cos\phi)\sin\phi - A_1\sin(N_1r\cos\phi)N_1\cos\phi - \sin\phi] + C_2\sin\phi $
Правильно ли перевёл и можно ли это упростить? Почему-то кажетьс, что где-то перевёл не правильно, а как упрощать идей нет.

[obar]

А где же в вашем гамильтониане импульсы?

[type2b]

если $x$ и $y$ -- канонически сопряженные переменные, то $r$ и $\phi$ таковыми уже не будут, т.к. замена не каноническая (не сохраняет симплектическую форму). Так что новые уравнения будут в правой части иметь не дэ $H$ по дэ чему-то, а скобку $\dot{q}=\{H,q\}$ (знак проверьте). Вроде, в результате добавится множитель типа $r$ или $1/r$. Кстати, сейчас ваши уравнения гамильтона и по размерности неправильные.

[XenoX]

А как получить этот самый множитель? Я читал Ландау по поводу канонический переменных, но не очень понял, может есть какая альтернативная литература?

Цитата:

Кстати, сейчас ваши уравнения гамильтона и по размерности неправильные.

Здесь не понял, можно подробнее?

Цитата:

А где же в вашем гамильтониане импульсы?

Да просто вместо p и q другие коородинаты x и y.

[obar]

XenoX в сообщении #512464 писал(а):

Да просто вместо p и q другие коородинаты x и y.

Ух ты! И вам кажется, что это малозначительная деталь? И кто из них ($x$, $y$) импульс, а кто координата? Надо полагать, что импульс это $x$?
Если $p\equiv x = r\cos\phi,\; q\equiv\ y= r\sin\phi$, то скобка Пуассона $\{r,\phi\}_{x,y}=1/r\neq1$, т.е., как вам указали, это преобразование не каноническое.

[type2b]

если вам нужно именно разобраться, как записывать уравнения в неканонических переменных, то считайте скобку пуассона. А если надо просто получить сами уравнения, то возьмите уравнения в переменных икс-игрек, не подставляйте гамильтониан, сделайте замену переменных и выразите производные новых переменных. Увидите, что получится в правой части. Только не подставляйте гамильтониан раньше времени.

[XenoX]

Цитата:

Если $p\equiv x = r\cos\phi,\; q\equiv\ y= r\sin\phi$, то скобка Пуассона $\{r,\phi\}_{x,y}=1/r\neq1$, т.е., как вам указали, это преобразование не каноническое.

А можно поподробнее как вы получили единицу на r?

Цитата:

если вам нужно именно разобраться, как записывать уравнения в неканонических переменных, то считайте скобку Пуассона.

Надо разобраться, посоветуйте что почитать.

Цитата:

А если надо просто получить сами уравнения, то возьмите уравнения в переменных икс-игрек, не подставляйте гамильтониан

Что-то я туплю, а куда не подставлять гамильтониан?

[type2b]

1. посмотрите определение скобки пуассона в вашем любимом учебнике по теормеху и примените его к функциям $r(x,y), \phi(x,y)$.
2. любой учебник по теормеху, раздел про канонические преобразования
3. ну елки палки. Берете уравнения $\dot{x}=\partial H/\partial y$ и $\dot{y}=-\partial H/\partial x$ (возможно, знаки наоборот -- это зависит от того, что тут координата, а что импульс). Дальше заменяете переменные $(x,y)\rightarrow (r,\phi)$. Например,

$$\dot{x}=\dot{r}\cos\phi-r\sin\phi\dot{\phi}$$

$$\partial H/\partial x=\frac{\partial H}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial H}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x}$$

подставляете $\partial r/\partial x$ и т.п., выражаете отсюда $\dot{r}$ и $\dot{\phi}$ через $\partial H/\partial\phi$ и $\partial H/\partial r$ и видите, что уравнения в новых переменных имеют немного негамильтонову форму. Это произошло потому, что $\{r,\phi\}\ne1$ (это скобки пуассона), т.е. новые переменные не являются канонически сопряженными. Дальше см. любой учебник.

Вообще, любая функция на фазовом пространстве эволюционирует как $\dot{f}=\{H,f\}$. Если функция -- просто координата или просто импульс, то для них скобки пуассона выглядят просто, и уравнения получаются в обычной гамильтоновой форме.

[XenoX]

Большое спасибо, буду разбираться.