Шар на плоскости

[Oleg Zubelevich]

На плоскости своим натуральным уравнением $k=k(s)$ задана гладкая кривая $\gamma$. По плоскости катится без проскальзывания шар радиуса $r$. Точка $C$ касания шара и плоскости движется по кривой $\gamma$; угловая скорость шара параллельна плоскости. Найти натуральное уравнение кривой, которую рисует на шаре точка $C$.

[TOTAL]

Oleg Zubelevich в сообщении #512833 писал(а):

На плоскости своим натуральным уравнением $k=k(s)$ задана гладкая кривая $\gamma$.

Поясните, как таким уравнением может быть задана кривая, что означают буквы $k, s$?

[Oleg Zubelevich]

TOTAL в сообщении #512845 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #512833 писал(а):

На плоскости своим натуральным уравнением $k=k(s)$ задана гладкая кривая $\gamma$.

Поясните, как таким уравнением может быть задана кривая, что означают буквы $k, s$?

откройте учебник, почитайте что такое натуральное уравнение кривой

[Yu_K]

Что-то мне кажется, если вектор угловой скорости шара параллелен плоскости, то повороты шара при движении не возможны и он может двигаться (катиться) только вдоль прямой линии.

А что для параметрического уравнения кривой на плоскости задача решена?

[Oleg Zubelevich]

Yu_K в сообщении #513328 писал(а):

Что-то мне кажется, если вектор угловой скорости шара параллелен плоскости, то повороты шара при движении не возможны и он может двигаться (катиться) только вдоль прямой линии.

Нет. Кривые на плоскости для которых возможно такое качение шара тоже можно описать. Это не любая кривая, естественно. Но и не только прямая.

Yu_K в сообщении #513328 писал(а):

А что для параметрического уравнения кривой на плоскости задача решена?

не понял

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #513331 писал(а):

Это не любая кривая, естественно.

оказывается всетакии, что любая гладкая кривая

[TOTAL]

Oleg Zubelevich в сообщении #512833 писал(а):

На плоскости своим натуральным уравнением $k=k(s)$ задана гладкая кривая $\gamma$. По плоскости катится без проскальзывания шар радиуса $r$. Точка $C$ касания шара и плоскости движется по кривой $\gamma$; угловая скорость шара параллельна плоскости. Найти натуральное уравнение кривой, которую рисует на шаре точка $C$.

Естественное уравнение кривой на шаре будет точно таким же (кривизна в касательной плоскости)

[Oleg Zubelevich]

TOTAL в сообщении #513419 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #512833 писал(а):

На плоскости своим натуральным уравнением $k=k(s)$ задана гладкая кривая $\gamma$. По плоскости катится без проскальзывания шар радиуса $r$. Точка $C$ касания шара и плоскости движется по кривой $\gamma$; угловая скорость шара параллельна плоскости. Найти натуральное уравнение кривой, которую рисует на шаре точка $C$.

Естественное уравнение кривой на шаре будет точно таким же (кривизна в касательной плоскости)

я не просил считать геодезическую кривизну, я просил найти натуральное уравнение кривой. Натуральное уравнение пространственной кривой, между прочим, должно содержать кручение.

[Yu_K]

А если шар радиуса $5$ катать без проскальзывания по плоскости, чтобы точка касания описывала окружность радиуса $1$ - то как будет вести себя вектор угловой скорости шара?

[svv]

Yu_k писал(а):

как будет вести себя вектор угловой скорости шара?

Обозначим вектор угловой скорости через $\mathbf{w}$. Я бы использовал стандартное обозначение $\mathbf{\omega}$, но я хочу обозначать векторы полужирным, а греческие буквы почему-то такими сделать не получается.

Если шар вращается с угловой скоростью $\mathbf{w}$ и вдобавок движется поступательно со скоростью $\mathbf{v}$ (это скорость центра шара $O$), то линейная скорость некоторой точки шара $A$ будет $\mathbf{v}+\mathbf{w}\times \mathbf{r}$, где $\mathbf{r}=\vec{OA}$.

Так как проскальзывания нет, то скорость нижней точки шара равна нулю: $\mathbf{v}+\mathbf{w}\times \mathbf{e}_z(-r)=0$, откуда $\mathbf{v}=\mathbf{w}\times \mathbf{e}_z r$. Здесь $\mathbf{e}_z$ -- единичный вектор нормали к плоскости, направленный вверх.
Получается, что поступательная скорость шара полностью определяется угловой скоростью. Кстати, из формулы видно, что эти векторы перпендикулярны.

А вот обратная связь не столь однозначна. Имеем: $\frac 1 r\; \mathbf{e}_z\times\mathbf{v}=\mathbf{e}_z\times (\mathbf{w}\times \mathbf{e}_z)=\mathbf{w}-\mathbf{e}_z (\mathbf{w}\cdot \mathbf{e}_z)$, откуда
$\mathbf{w}=\frac 1 r\; \mathbf{e}_z\times\mathbf{v}+\mathbf{e}_z w_z$,
т.е. параллельная к плоскости составляющая вектора $\mathbf{w}$ определяется скоростью центра шара $\mathbf{v}$ однозначно, а нормальную к плоскости компоненту угловой скорости взять неоткуда. Физически это означает, что шар, даже катясь без проскальзывания, может ещё дополнительно прокручиваться вокруг вертикальной оси, так что результирующая ось вращения будет наклонной к плоскости -- если такое не запретить дополнительным условием.

Поэтому-то в задаче и дано условие $w_z=0$. В совокупности с условием отсутствия проскальзывания это дает однозначную взаимосвязь:
$\mathbf{v}=-\mathbf{e}_z\times r\mathbf{w}\, , \;\;r\mathbf{w}=\mathbf{e}_z\times\mathbf{v}$

[svv]

Oleg Zubelevich в сообщении #514250 писал(а):

Создаем коллекцию задач нерешаемых на этом формуме

Стало стыдно, решил написать. Идея решения совсем простая, но не представляю, как изложить без длинных пояснений.

Кривая на плоскости -- $\gamma(s)$, а кривая на сфере пусть называется $\beta(s)$. Пусть параметризация $\beta$ такова, что значения параметров обеих кривых совпадают в точке касания, тогда параметр $s$ натуральный и по отношению к $\beta$.
"Шар находится в точке $s$" означает: шар имеет такое положение, что точка касания $C=\gamma(s)=\beta(s)$.

Понадобятся два семейства ортонормированных реперов $G(s)$ (на кривой $\gamma$) и $B(s_0, s)$ (на кривой $\beta$). Каждый репер включает векторы $\mathbf{u}, \mathbf{n}, \mathbf{p}$.

Репер $G(s)$ -- строится в точке $\gamma(s)$ так:
$\mathbf{u}$ -- касательный вектор к $\gamma$ в точке $\gamma(s)$,
$\mathbf{p}$ -- нормаль к плоскости (вверх),
$\mathbf{n}=\mathbf{p}\times \mathbf{u}$.

Репер $B(s_0, s)$ -- строится в точке $\beta(s_0)$, когда шар находится в точке $s$ и соответствующим образом ориентирован. Задаём его условиями:
1) При $s=s_0$ репер $B(s_0, s)$ совпадает с $G(s_0)$.
2) Ориентация репера относительно шара не зависит от второго параметра $s$.
Иными словами, первый параметр задаёт точку $s_0$ на кривой $\beta$, а второй -- в какой "момент" $s$ рассматриваем шар.
Из построения следует, что при данном значении первого параметра $s_0$ (и любом значении второго параметра $s$) базисные векторы $B(s_0, s)$ будут иметь такой смысл:
$\mathbf{u}$ -- касательный вектор к $\beta$ в точке $\beta(s_0)$,
$\mathbf{p}$ -- внутренняя нормаль к поверхности шара в точке $\beta(s_0)$,
$\mathbf{n}=\mathbf{p}\times \mathbf{u}$ -- ортогонален к $\beta$, касателен к шару.
Я не утверждаю, что подвижный репер $B(s)$ является репером Френе. Хоть $\mathbf{u}$ -- касательный вектор, но $\mathbf{n}$ -- не вектор главной нормали.

Буду пользоваться выражением "'один репер вращается относительно другого с угловой скоростью $\mathbf{w}$", если нужно, поясню, что понимаю под этим.

Собственно решение.

Выберем некоторое значение параметра $s_0$. При $s=s_0$ :
репер $G(s)$ как функция $s$ вращается относительно репера $G(s_0)$ с угловой скоростью $k(s_0)\mathbf{p}$,
репер $B(s_0, s)$ как функция второго параметра вращается относительно репера $G(s_0)$ с угловой скоростью $\frac 1 r \mathbf{n}$,
(здесь базисные векторы $\mathbf{u}, \mathbf{n}, \mathbf{p}$ берутся либо из репера $G(s_0)$, либо $B(s_0, s_0)$, так как они совпадают)

Следовательно, репер $G(s)$ вращается относительно репера $B(s_0, s)$ с угловой скоростью $\mathbf{w}=k(s_0)\mathbf{p}-\frac 1 r \mathbf{n}$ при $s=s_0$.
Но $G(s)=B(s, s)$, поэтому можно сказать и так: репер $B(s, s)$ вращается относительно репера $B(s_0, s)$ с угловой скоростью $\mathbf{w}$ при $s=s_0$.

Ориентация обоих реперов относительно шара не зависит от второго параметра $\Rightarrow$ их взаимная ориентация не зависит от него $\Rightarrow$ второй параметр можно выбросить:
Репер $B(s)$ вращается относительно репера $B(s_0)$ с угловой скоростью $\mathbf{w}=k(s_0)\mathbf{p}(s_0)-\frac 1 r \mathbf{n}(s_0)$$.
Слова "относительно репера $B(s_0)$" можно опустить, если шар (любой репер $B$ при фиксированном параметре) считать неподвижным.

Угловая скорость вращения подвижного репера дает возможность найти производную
$\frac{d\mathbf{u}}{ds}=\mathbf{w}\times\mathbf{u}=(k \mathbf{p}-\frac 1 r \mathbf{n})\times \mathbf{u} = \frac 1 r \mathbf{p}+k \mathbf{n}$,
а это есть, согласно формулам Серре-Френе, вектор кривизны $\mathbf{k}_{\beta}$ кривой $\beta$. Его длина -- кривизна $k_{\beta}$:
$k_{\beta}(s)=\sqrt{\frac 1{r^2}+k^2(s)}$.

Ну, а кручение находится из связи кривизны и кручения для кривой на сфере радиуса $r$.
См. topic52268.html, а также одну из задач параграфа "формулы Френе" в книге Современная геометрия, часть 1, Дубровин, Новиков, Фоменко (где я нашел эту формулу ещё раньше).

[Oleg Zubelevich]

svv в сообщении #514591 писал(а):

$k_{\beta}(s)=\sqrt{\frac 1{r^2}+k^2(s)}$.

да,

svv в сообщении #514591 писал(а):

Ну, а кручение находится из связи кривизны и кручения для кривой на сфере радиуса $r$.
См. topic52268.html, а также одну из задач параграфа "формулы Френе" в книге Современная геометрия, часть 1, Дубровин, Новиков, Фоменко

Однако, Дубровин, Новиков, Фоменко всетаки облажались в формулировке необходимого и достаточного условия лежания кривой на сфере, ну и я вслед за ними, это это лишь необходимое условие(см. post514397.html#p514397), для достаточности нужно еще одно уравнение на кривизну и кручение. Постараюсь скоро выложить решение.

[svv]

Для тех, кто заинтересуется построением кривой $\beta(s)$ на сфере радиуса $R$ для заданной кривой $\gamma(s)$ на плоскости, приведу дифференциальные уравнения в виде, удобном для численного решения и построения кривой.

Напомню, при движении вдоль кривой $\beta(s)$ репер $(\mathbf{u},\mathbf{n},\mathbf{p})$ вращается с мгновенной угловой скоростью $\mathbf{w}=k(s)\mathbf{p}-\frac 1 R \mathbf{n}$, где $k(s)$ -- кривизна кривой на плоскости $\gamma(s)$ в соответствующей точке. Это даёт уравнение вращения вектора $\mathbf{u}$:
$\frac{d\mathbf{u}}{ds}=\mathbf{w}\times\mathbf{u}=(k \mathbf{p}-\frac 1 R \mathbf{n})\times \mathbf{u} = k \mathbf{p}\times\mathbf{u}+\frac 1 R \mathbf{p}$

Выразим векторы $\mathbf{u},\mathbf{p}$ через радиус-вектор $\mathbf{r}$, направленный из центра шара в текущую точку: $\mathbf{u}=\frac{d\mathbf{r}}{ds}\;,\;\;\mathbf{p}=-\frac {\mathbf{r}} R$ .
Подставив это в уравнение, получим:
$\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}=\frac k R \frac{d\mathbf{r}}{ds}\times\mathbf{r}-\frac 1 {R^2} \mathbf{r}$

Удобно спроектировать $\beta$ на единичную сферу. Пусть $\mathbf{a}=\frac{\mathbf{r}} R$. Сделаем замену параметра $s=R\lambda$, тогда новый параметр $\lambda$ будет натуральным на единичной сфере. Получим:
$\frac{d^2\mathbf{a}}{d\lambda^2}= kR \frac{d\mathbf{a}}{d\lambda}\times\mathbf{a}-\mathbf{a}$
Здесь $k(s)$ берется для $s=R\lambda$.

Последнее уравнение в координатах $x, y, z$ (которые понимаются как декартовы на единичной сфере) имеет вид:

$$\begin{cases} \frac{d^2 x}{d\lambda^2}= kR \left( z\frac{dy}{d\lambda}-y\frac{dz}{d\lambda} \right) -x \\ \frac{d^2 y}{d\lambda^2}= kR \left( x\frac{dz}{d\lambda}-z\frac{dx}{d\lambda} \right) -y \\ \frac{d^2 z}{d\lambda^2}= kR \left( y\frac{dx}{d\lambda}-x\frac{dy}{d\lambda} \right) -z \end{cases}$$

Здесь также $k=k(R\lambda)$.

[Yu_K]

- плоская кривая - синусоида - шар проходит одну волну слева на картинке и "много" волн справа.

- плоская кривая "восьмерка".

- плоская кривая спираль.

Несколько картинок к задаче - для случая единичной сферы - расчет по "декартовым" формулам, предложенным выше svv.

(Оффтоп)

И при определенном отношении осей - получается замкнутая кривая -

И еще - начальные кривые эллипсы с разными отношениями осей - убрал в оффтоп, чтоб не загромождать каритинками.