Алгоритм установления разрешимости полинома в радикалах.

[Legioner93]

"Приведите пример невычислимой неубывающей функции $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $".
Знаю про классические примеры типа функции трудолюбия Радо, но решил придумать что-то своё.
Вот моя функция:
Упорядочим любым способом все уравнения пятой степени $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$ с натуральными коэффициентами (*)(множество таких уравнений счётно).
Пусть $n$ - номер $n$-го уравнения в последовательности. Определим $g(n)=1$, если уравнение имеет хотя бы одно решение в радикалах и $g(n)=0$, если не имеет. Определим $f(n)=\sum\limits_{k=0}^{n} g(k)$. Получили неубывающую функцию $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $".
Теперь что касается невычислимости. Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее уравнение степени $n$ при $n \ge 5$ неразрешимо в радикалах. Это ясно. Значит ли это, что не существует алгоритма, которой по данному произвольному уравнению произвольной степени определяет, имеется ли решение в радикалах? Не предъявляет само решение, а только доказывает/опровергает его существование. И тот же вопрос касательно уравнений типа (*). На этот вопрос я не могу ответить, прошу вашей помощи.

[svv]

Ничего не понимаю в этой теме, но: разрешимость уравнения в радикалах определяется разрешимостью его группы Галуа.
Из книжечки для школьников "Математична хрестоматія" на украинском языке, перевод мой:

Цитата:

Новичку может показаться несущественной подмена вопроса о разрешимости или неразрешимости в радикалах алгебраического уравнения вопросом о разрешимости или неразрешимости соответствующей группы Галуа. Легче ли решать второе, чем первое? Оказывается, в целом все-таки легче.

Раз так, может быть, и алгоритм существует?

[Toucan]

Тема переименована по просьбе автора.

[Sonic86]

По-моему, так: для уравнения мы можем в любом случае вычислить (или не можем? upd: можем, см. Постников Теория Галуа, глава "Уравнения 5-й степени", параграф "Вычисление группы Галуа неприводимого многочлена 5-й степени") его группу Галуа. Если получилось $A_5$ или $S_5$ - неразрешимо. Иначе - составляем резольвенты Лагранжа и вперед на танке.

[Legioner93]

Sonic86
Получается, что функция $f$ вычислима. Спасибо.