Найти допустимые экстремали

[Nick0lay]

Решил попытаться разобраться, пытался понять как решать, пересмотрел книги, результатов ноль=(
Очень прошу помочь с решением и если можно с литературой

Нужно найти допустимые экстремали:

$$\int\limits_0^1 \dot{x}^2\,dt\to extr$ $$

$$\int\limits_0^1 x\,dt = \int\limits_0^1 tx\,dt = 0$$

$$x(0)=0, x(1)=1$$

[svv]

Давайте сначала угадаем решение, а потом найдем его штатным методом.
Вот интеграл $\int\limits_0^1 \dot{x}^2\,dt$. Знаете, что такое $\dot{x}$?

[Nick0lay]

Как я понял, это первая производная по t

[svv]

Чтобы найти экстремаль, надо решить уравнение Эйлера-Лагранжа
$\frac d {dt} F_{\dot{x}}=F_x$
Знаете, где здесь что?

[Nick0lay]

вот и все, приехали =(
увы, не знаю.
если подскажете ещё и литературу, буду благодарен, что-бы было где искать ответы на ваши вопросы.

[svv]

Вот в этой статье: Википедия, Уравнение Эйлера — Лагранжа посмотрите только небольшой абзацик "Утверждение". В нем всё понятно?
Суть: если функция делает интеграл экстремальным, она удовлетворяет этому уравнению, откуда её и можно найти.

[Nick0lay]

Более менее проясняется. Я так понял(из Утверждения), нам нужно решить дифференциальное уравнение (ур. Эйлера — Лагранжа), чтобы проверить достигает ли функционал экстремума. Сразу же вопрос, функционал - это переменная величина, зависящая от функции. Что является функционалом в моем уравнении?

[svv]

Пожалуйста, давайте немного изменим обозначения в Вашей задаче, чтобы они стали более обычными и соответствовали статье в Википедии.
Вам надо найти функцию $y(x)$, удовлетворяющую условиям $y(0)=0, y(1)=1$, на которой функционал $I=\int\limits_0^1 \left(y'(x)\right)^2 dx$ принимает экстремальное значение.

Nick0lay писал(а):

нам нужно решить дифференциальное уравнение (ур. Эйлера — Лагранжа), чтобы проверить достигает ли функционал экстремума

Вам нужно решить дифференциальное уравнение, чтобы узнать, на какой функции $f(x)$ функционал достигает экстремума (если вообще достигает).

Та функция, которая будет решением дифференциального уравнения Эйлера-Лагранжа -- кандидат на функцию, обеспечивающую функционалу экстремальное значение. Почему кандидат? Вообще-то выполнение уравнения Эйлера-Лагранжа для функции $f(x)$ -- это необходимое, но ещё недостаточное условие того, что функционал будет экстремальным на $f(x)$. Но мы этот факт для простоты замнём и скажем: если $f(x)$ -- решение уравнения Эйлера-Лагранжа, то функционал для найденной $f(x)$ будет экстремальным.

Nick0lay писал(а):

Сразу же вопрос, функционал - это переменная величина, зависящая от функции, что является функционалом в моем уравнении?

Функционалом у Вас является интеграл $I=\int\limits_0^1 \left(y'(x)\right)^2 dx$.

Давайте теперь составим уравнение Эйлера-Лагранжа для нашей задачи.
Функция $F$ -- это подынтегральная функция. Она в обычных ситуациях зависит от $x, y(x), y'(x)$. Вам повезло, и у Вас она зависит только от $y'(x)$, а именно: $F=\left(y'(x)\right)^2$.
Производные $\frac{\partial F}{\partial y}$ и $\frac{\partial F}{\partial y'}$ ещё часто обозначаются $F_y$ и $F_{y'}$ . Находить их надо так, как будто $x$, $y$ и $y'$ -- это простые независимые переменные, не имеющие друг к другу никакого отношения (можно мысленно заменить $y'$ на $z$).

Найдите для Вашего случая $F_y$ и $F_{y'}$. Проверьте себя:

(Ответ)

$F_y=0$
$F_{y'}=2y'$

Пока понятно?

[Nick0lay]

Значит по порядку:
функционал

$$I = \int\limits_0^1(x'(t))^2\,dt$$

мы заменили на:

$$I = \int\limits_0^1(y'(x))^2\,dx$$

Дальше, наша под-интегральная функция имеет следующий вид:

$$F(y'(x))$$

А вот дальше стыдно и обидно что не слушал лекции =(
Опять же таки не знаю как высчитать производные $F_y$ и $F_{y'}$

[svv]

Давайте воспользуемся тем приемом, что я упоминал: заменим $y'(x)$ на $z$ (рассматриваем $z$ как независимую переменную).
Тогда $F=(y')^2=z^2$.
Найдите
$F_y=\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial (z^2)}{\partial y}=???$
$F_{y'}=F_z=\frac{\partial F}{\partial z}=\frac{\partial (z^2)}{\partial z}=???$
Я предполагаю, что частные производные Вы всё-таки знаете.

[Nick0lay]

Если я правильно понимаю, $\frac{\,d(z^2)}{\,dy}$ аналогично $(z^2)'_y$, а так как мы производную берем по y, то получаем 0: $(z^2)'_y = 0$. А вот когда берем производную по z, следовательно: $(z^2)'_z = 2z = 2y'$

[svv]

Да, всё правильно. Единственное замечание: нельзя путать $\frac d {dy}$ и $\frac {\partial} {\partial y}$. Второе называется "частная производная", постоянно применяется к функциям многих переменных.

Частная производная -- это когда Вы берете производную по одной из независимых переменных (которая указана в "знаменателе"), в то время как остальные "замерли" и рассматриваются как константы.
Например, если $z=x^2 y+y^2$, то
$\frac {\partial z} {\partial x} = 2xy$
$\frac {\partial z} {\partial y} = x^2+2y$
Пожалуйста, проверьте это (сделайте вычисления и найдите результат).

Ага, собственно, Вы обозначаете $\frac {\partial f} {\partial y}$ как $f'_y$. Ну, хорошо, но "моё" обозначение тоже надо знать.

[Nick0lay]

Спасибо за замечание и за наглядный пример! да, я сверился, с частными производными пока понятно.
Просто помню как решать $f'_y$, а вот $\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$ уже подзабыл

Значит на функции $F_y$ = 0 - функционал достигает экстремума, а $F_{y'} \neq 0$ - нам не подходит?!
Это учитывая что мы замяли достаточное условие.

[svv]

Цитата:

Просто помню как решать $f'_y$, а вот $\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$ уже подзабыл

Так это одно и то же.

Цитата:

Значит на функции $F_y$ = 0 - функционал достигает экстремума, а $F_{y'} \neq 0$ - нам не подходит?!

Ой, нет-нет-нет! Надо еще подставить $F_y$ и $F_{y'}$ в уравнение Эйлера-Лагранжа, решить его, и вот решение будет экстремалью.

Теперь все готово, чтобы составить уравнение Эйлера-Лагранжа: $\frac{d}{dx}F_{y'}=F_{y}$.
Подставляем сюда найденные $F_{y}$ и $F_{y'}$, получаем:
$\frac{d}{dx}(y'(x))=0$,
то есть $y''(x)=0$, то есть "вторая производная равна нулю". У Вас есть какие-то идеи по его решению?

[Nick0lay]

Да уж, извиняюсь за правку выше. Не туда пошёл.
Эм...а куда уж дальше решать, если сказано, что она(вторая производная) равна нулю?