Абсолютно непрерывные функции

[Samir]

Как доказать, что абсолютно непрерывные функции образуют подпространство в пространстве непрерывных функций $C[-1,1]$?
То, что оно векторное пространство я доказал. Как теперь доказать, что любая последовательность абсолютно непрерывных функций сходится к абсолютно непрерывной функции?

[ewert]

Samir в сообщении #512697 писал(а):

Как теперь доказать, что любая последовательность абсолютно непрерывных функций сходится к абсолютно непрерывной функции?

Никак. Берём любую функцию, непрерывную не абсолютно. И сглаживаем её последовательностью свёрток со сужающимися бесконечно дифференцируемыми ядрами. Получаем последовательность бесконечно дифференцируемых функций, очевидно равномерно сходящуюся к исходной, т.е. не абсолютно непрерывной функции.

[Samir]

А что значит "сглаживаем её последовательностью свёрток со сужающимися бесконечно дифференцируемыми ядрами"? Дело в том, что в функциональном анализе мы не вводили понятия свертки.

[ewert]

$f_n(x)=\int\limits_{\forall t}f(t)\cdot\varphi_n(x-t)\,dt$. Где функции $\varphi_n(t)$ 1) неотрицательны; 2) бесконечно дифференцируемы (хотя хватило бы и просто гладкости); 3) финитны, причём их носители стягиваются к нулю при $n\to\infty$ и 4) интегралы от которых по носителю равны единице. Такие очень легко сочинить, и вы в вашем курсе наверняка нечто подобное проделывали; иначе даже непонятно, что это вообще за курс функана.

Из второго пункта следует гладкость этих функций, а из остальных трёх -- их равномерная сходимость к исходной (в силу равномерной непрерывности последней). Только, конечно, перед интегрированием надо доопределить исходную функцию за пределы промежутка по непрерывности (не очень важно как -- например, константами).