Найти предел

[Hoaxer]

$\lim\limits_{x\to\infty} \sin^{n}(\frac{2n\pi}{3n+1})$,

1. $\frac{2n\pi}{3n+1}=(\frac{3n+1}{2n\pi})^{-1}= ... =\frac{2\pi}{3}\cdot(1+\frac{1}{3n})^{-1}$, $\sin\frac{2\pi}{3}(1+\frac{1}{3n})^{-1}$
2. $\lim\limits_{n\to\infty}\sin^{n}\frac{2\pi}{3}(1+\frac{1}{3n})^{-1} \sim \lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{kn})^{-n}, k\in\mathbb{N}$ - именно этот переход нужно математически одобрить или разяснить как можно подругому найти предел. Интуитивно, выражение предствляет собой произведение околоединичных чисел.
3. $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{kn})^{-n}=...=\lim\limits_{n\to\infty}e^{-\frac{n}{k}}=0$, в данном случае можно предположить, что $k = 3$.

(:

[SpBTimes]

$\sin^n(\frac{2n\pi}{3n + 1}) = (\sin(\frac{2n\pi}{3n + 1}))^n \to (\frac{\sqrt{3}}{3})^{\infty}$

[ewert]

SpBTimes в сообщении #512680 писал(а):

$(\sin(\frac{2n\pi}{3n + 1}))^n \to (\frac{\sqrt{3}}{3})^{\infty}$

Так писать нельзя. Не говоря уж даже о том, что тут зевок -- так в принципе писать нельзя. И даже замена сходимости на эквивалентность в этом месте незаконна. Надо оформлять аккуратнее.

[SpBTimes]

ewert в сообщении #512690 писал(а):

Надо оформлять аккуратнее.

через экспоненту?

[ewert]

Нет. Надо указать, что синус стремится к тому-то (кстати, не вполне к тому, хоть это и не принципиально), после чего сообщить, что, начиная с некоторого номера, выражение оценивается сверху через такую-то геометрическую прогрессию.

Ну или прологарифмировать; тогда можно будет действительно сослаться на предел.

[SpBTimes]

ewert в сообщении #512700 писал(а):

кстати, не вполне к тому, хоть это и не принципиально

да-да, зевнул(

ewert в сообщении #512700 писал(а):

Ну или прологарифмировать;

Так можно просто написать?
$= \lim\limits_{n \to \infty} e^{n\ln(\sin(\frac{2\pi n}{3n + 1}))}$
после чего сразу вычислить?

И ещё, почему сразу нельзя писать? Ведь в принципе - одно и то же.

[ewert]

SpBTimes в сообщении #512703 писал(а):

Ведь в принципе - одно и то же.

В принципе -- да. Но дело в том, что выражение типа $(\frac12)^{\infty}$ формально бессмысленно.

В то время как после логарифмирования (или, как у Вас, перехода к экспоненте) мы можем формально утверждать, что соотв. выражение (логарифм или показатель экспоненты стремится к плюс бесконечности. После чего сослаться на то, что мы знаем, к чему стремится экспонента на бесконечности.

[SpBTimes]

(Оффтоп)

ewert
Спасибо за объяснение!

[ewert]

(Оффтоп)

только пардон, к минус бесконечности, конечно; но это описка того же типа, что и Ваша

[Hoaxer]

Господа, я не хочу показаться не образованным, но все же я никак не могу понять каким образом вы получили значения предела. О какой последотельности идет речь? Ведь $\sin^{n}\frac{2\pi}{3(1+\frac{1}{3n})}, n\rightarrow \infty$ - ограничена, но вот как показать, что ее предел равен нулю?

[Joker_vD]

$\sin\frac{2\pi}{3+\frac1n}\rightarrow \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$, а раз $\frac{\sqrt3}{2}<1$, то $\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^n\rightarrow 0$. Ну, это на пальцах.

[Hoaxer]

Слона-то я и не приметил (: