Решить в целых числах

[Simba]

Решить в целых числах:
$x^2-2009y+y^2=0$

[nnosipov]

Simba в сообщении #512074 писал(а):

Решить в целых числах:$x^2-2009y+y^2=0$

А в чём здесь проблема: ведь известно, сколькими способами можно представить данное число суммой двух квадратов, да и сами эти представления нетрудно выписать (в данном случае).

[Simba]

nnosipov в сообщении #512091 писал(а):

Simba в сообщении #512074 писал(а):

Решить в целых числах:$x^2-2009y+y^2=0$

А в чём здесь проблема: ведь известно, сколькими способами можно представить данное число суммой двух квадратов, да и сами эти представления нетрудно выписать (в данном случае).

Известно? Откуда?

[ИСН]

От верблюда. Раскладываем его на простые множители, все вида $4n+1$ кладём в одну кучу, а вида $4n+3$ - в другую. Потом...
...погодите, а что за число-то, понятно?

[spaits]

ИСН в сообщении #512118 писал(а):

...погодите, а что за число-то, понятно?

Исходное легко преобразуется в виде: $(2y-2009)^2+(2x)^2=2009^2$.
$t^2+v^2=2009^2$.

[Simba]

spaits в сообщении #512124 писал(а):

Исходное легко преобразуется в виде: . .

а что же дальше?

ИСН в сообщении #512118 писал(а):

погодите, а что за число-то, понятно?

Нет.
Я-то решил, видимо, по-другому, хотелось бы узнать другое решение.

[ИСН]

Дальше каждое простое вида $4n+1$ раскладываем на сумму квадратов, что делается единственным образом, а потом из них собираем разложение для всего числа по такому закону:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$$

[spaits]

$t^2+v^2=2009^2;$
$441^2+1960^2=2009^2$; $t=441$; $v=1960$;
или $t=-441$; $v=1960$;
или $t=441$; $v=-1960$;
или $t=-441$; $v=-1960$.
Отсюда:
$t=2y-2009=441$; $y=1225$;
$v=2x=1960$; $x=980$.
Это только один ответ. Ну, легко найти еще три ответа.

[Shadow]

spaits в сообщении #512201 писал(а):

Ну, легко найти еще три ответа.

И не забыть добавить к ним тривиальные $(0;0), (0;2009)$. И только уточнение: "В лоб" решения типа $441^2+1960^2=2009^2$ ручкой, карандашом, линейкой, циркулем и транспортиром трудно находятся. Потому и советы nnosipov и ИНС при решении $t^2+(2x)^2=2009^2$
$\\t=u^2-v^2\\ x=uv\\ 2009=u^2+v^2\\ 2009=7.7.41=7^2(5^2+4^2)=35^2+28^2\\ \\ $

[spaits]

Я не в лоб решала.
$2009=49\cdot{41}$; $41^2=9^2+40^2$; умножаем на $49^2$, получаем искомое: $441^2+1960^2=2009^2$.