Определение выпуклой функции пальцах

[lampard]

Есть 2 определения (как минимум):

1) Функция $f(x)$ выпукла на некотором интервале, если $f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)$ на этом интервале.

2) Функция выпукла на интервале, если $f\left(\frac{x+y}2 \right) \le \frac{f(x)+f(y)}2$

Почему во второй формулеровке за $t$ взяли $0.5$?

Какое из определений верно?

Можете объяснить это определение "на пальцах"? Спасибо

[Dan B-Yallay]

Я лично со вторым определением еще не сталкивался, но:

Из первого определения следует второе как частный случай при $t=1/2$.
Из второго следует первое, если немного постараться.

[bot]

Dan B-Yallay в сообщении #512315 писал(а):

Из второго следует первое, если немного постараться

И использовать непрерывность. Первое сильнее - из него непрерывность выводится, а из второго нет

[Алексей К.]

lampard,

возможно, Вас смущает выражение вида $At+B(1-t)$, дважды использованное в первом определении. Это просто некое "взвешенное среднее", т.е. такое усреднение, в котором усредняемые участвуют с разным весом. Варьируя $t\in[0;1]$, Вы как бы все точки просканируете. Посмотрите (нарисуйте), что-меньше-чего получается при $t=\frac13,\frac34$ итд., оно на пальцах и получится.

И определения Вы, похоже, скупо написали: в одном икс и игрек, наверное, границы отрезка, в другом - произвольные точки отрезка.

[Someone]

lampard в сообщении #512310 писал(а):

Можете объяснить это определение "на пальцах"?

Первое определение (плохо сформулированное, кстати сказать) означает, что график функции между любыми двумя точками заданного интервала лежит ниже хорды, их соединяющей, или на ней.

(набор формул)

P.S. Формулы нужно окружать знаками доллара: $f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)$.

lampard в сообщении #512310 писал(а):

f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)

[lampard]

Алексей К. в сообщении #512333 писал(а):

И определения Вы, похоже, скупо написали: в одном икс и игрек, наверное, границы отрезка, в другом - произвольные точки отрезка.

Спасибо! А точно произвольные точки отрезка? Произвольные -- это в случае $t=0,5$?

-- 07.12.2011, 11:19 --

Someone в сообщении #512352 писал(а):

Первое определение (плохо сформулированное, кстати сказать) означает, что график функции между любыми двумя точками заданного интервала лежит ниже хорды, их соединяющей, или на ней.

Спасибо, а второе?!

[ewert]

bot в сообщении #512318 писал(а):

Первое сильнее - из него непрерывность выводится

С уточнением: непрерывность на открытой области (естественно).