Пределы

[Joker_vD]

Я бы лично во 2-ом всю эту байду на $1-x$ поделил.

[mr.tumkan]

Joker_vD в сообщении #511755 писал(а):

Я бы лично во 2-ом всю эту байду на $1-x$ поделил.

Вот так? А что это даст?!

2.

$$\lim\limit_{x \to 1}\big (\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\big)=\lim\limit_{x \to 1}\Big [\dfrac{m(1-x)}{(1-x)(1-x^m)}-\dfrac{n(1-x)}{(1-x^n)(1-x)}\Big]$$

А как применять эквивалентности, если тут $x\to 1$

[Joker_vD]

Нет, я имел ввиду, после приведения к общему знаменателю и вычитания, в числителе выносится $(1-x)$, а в знаменателе $(1-x)^2$... ой, в квадрате? Хм. Извините.

[mr.tumkan]

Joker_vD в сообщении #511761 писал(а):

Нет, я имел ввиду, после приведения к общему знаменателю и вычитания, в числителе выносится $(1-x)$, а в знаменателе $(1-x)^2$... ой, в квадрате? Хм. Извините.

Понятно) А как можно еще?

-- 05.12.2011, 17:09 --

$$\lim\limit_{x \to 1}\big (\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\big)=\lim\limit_{x \to 1}\dfrac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}$$

А как применять эквивалентности, если тут $x\to 1$

Есть предположение, что можно сделать замену $t=1-x$, $t\to 0$, но есть ли альтернативы? Может есть способ попроще?)

-- 05.12.2011, 17:12 --

И еще остается вопрос по этому.

3.

$$\lim\limit_{n \to \infty}\frac{1}{n}\big[(x+\frac{a}{n})+(x+\frac{2a}{n})+...+(x+\frac{(n-1)a}{n})\big]$$

Можно ли так сделать?

$$\lim\limit_{n \to \infty}\frac{1}{n}\big[(n-1)x+\frac{a}{n}\sum_{k=1}^{n-1}k\big]$$

Точно именно $n \to \infty$

[bot]

Joker_vD в сообщении #511761 писал(а):

после приведения к общему знаменателю и вычитания, в числителе

прибавить и отбавить, после чего открывать ключиком $\frac{x^{k-1}+\ldots +1 -k}{x-1}=\sum\limits_{j=0}^{k-1}\frac{x^j-1}{x-1}\to \sum\limits_{j=0}^{k-1}j=\frac{(k-1)k}{2}$

-- Пн дек 05, 2011 21:59:35 --

Ага, вот и общий знаменатель нарисовался, только один $1-x$ сократить бы.

-- Пн дек 05, 2011 22:06:52 --

mr.tumkan в сообщении #511767 писал(а):

Можно ли так сделать?

Ну дык, так и надо. Потому и спрашивали точно ли написано, что тогда задача никакая.

[Himfizik]

mr.tumkan в сообщении #511767 писал(а):

Есть предположение, что можно сделать замену

Да делайте уже, куда уж проще. Смещаем заменой единицу в нуль и используем: $(1+x)^m \sim 1+mx+\frac{m(m-1)x^2}{2}+...$.

[mr.tumkan]

bot в сообщении #511787 писал(а):

прибавить и отбавить, после чего открывать ключиком $\frac{x^{k-1}+\ldots +1 -k}{x-1}=\sum\limits_{j=0}^{k-1}\frac{x^j-1}{x-1}\to \sum\limits_{j=0}^{k-1}j=\frac{(k-1)k}{2}$

А откуда такая штука взялась $\frac{x^{k-1}+\ldots +1 -k}{x-1}$?

Это вы про второй пример?!

-- 05.12.2011, 19:44 --

Himfizik в сообщении #511794 писал(а):

mr.tumkan в сообщении #511767 писал(а):

Есть предположение, что можно сделать замену

Да делайте уже, куда уж проще. Смещаем заменой единицу в нуль и используем: $(1+x)^m \sim 1+mx+\frac{m(m-1)x^2}{2}+...$.

Ок, спасибо , но хочется другим способом) Чтобы не появлялись о-малые и О-большие...

[bot]

mr.tumkan в сообщении #511832 писал(а):

А откуда такая штука взялась

Ну напишу конкретнее - прибавить и отбавить надо $mn$, тогда разность двух таких штук возникнет с $k=m$ и с $k=n$.

[Praded]

Во втором можно представить дробь $\dfrac{p}{1-x^p}$ в виде двух простейших дробей $\dfrac{f(x)}{1-x}+\dfrac{g(x)}{1+x+x^2+\cdots+x^{p-1}}$. Тогда исчезнет необходимость вычислять предел от дроби, в знаменателе которой есть ${1-x^p}$, а будет присутствовать разность двух рациональных дробей.

[Praded]

Я со вторым пределом поступил так:
$\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\right)=\\ =\lim\limits_{x\to1}\left\{m\left[\frac{1}{m}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{(m-1)+(m-2)x+\cdots+x^{m-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{m-1}}\right)\right]-n\left[\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{(n-1)+(n-2)x+\cdots+x^{n-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}}\right)\right]\right\}=\\ =\lim\limits_{x\to1}\left[\left(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{(m-1)+(m-2)x+\cdots+x^{m-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{m-1}}\right)-\left(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{(n-1)+(n-2)x+\cdots+x^{n-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}}\right)\right]=\\ =\lim\limits_{x\to1}\left[\dfrac{(m-1)+(m-2)x+\cdots+x^{m-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{m-1}}-\dfrac{(n-1)+(n-2)x+\cdots+x^{n-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}}\right]=\\ =\dfrac{(m-1)+(m-2)+\cdots+1}{\underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{m}}-\dfrac{(n-1)+(n-2)+\cdots+1}{\underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{n}}=\\ =\dfrac{[(m-1)+1]\cdot\dfrac{m}{2}}{m}-\dfrac{[(n-1)+1]\cdot\dfrac{n}{2}}{n}=\dfrac{m}{2}-\dfrac{n}{2}=\dfrac{m-n}{2}$

[bot]

Так вроде покороче будет:
$\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\right)=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{n((x^{m-1}+\ldots + 1)-m)-m(x^{n-1}+\ldots + 1)-n)}{(x-1)(x^{m-1}+\ldots + 1)(x^{n-1}+\ldots + 1)}=\\ \frac{1}{m}\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(x^{m-1}+\ldots + 1)-m}{x-1}-\frac{1}{n}\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(x^{n-1}+\ldots + 1)-n}{x-1}=\\ \dfrac{m-1}{2}-\dfrac{n-1}{2}=\dfrac{m-n}{2}$

[mr.tumkan]

Спасибо!!!