Пределы

[mr.tumkan]

a)

$$\lim\limit_{n \to \infty}\big(\dfrac{1^3+2^3+...+n^3}{n^3}-\dfrac{n}{4}\big)$$

С чего тут можно плясать? Подозреваю, что есть формула, для такой суммы кубов...

b)

$$\lim\limit_{x \to 1}\big (\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\big)$$

Есть идея привести к общему знаменателю, что не очень упростит дело и не понятно -- что дальше...

c) Еще такой

$$\lim\limit_{n \to \infty}\frac{1}{n}\big[(x+\frac{a}{n})+(x+\frac{2a}{n})+...+(x+\frac{(n-1)a}{n})\big]$$

Можно ли так сделать?

$$\lim\limit_{n \to \infty}\frac{1}{n}\big[(n-1)x+\frac{a}{n}\sum_{k=1}^{n-1}k\big]$$

[gris]

1. Есть такая формула.
2. Там точно $n\to \infty\,$ а не $x\to 1\,$?

[mr.tumkan]

gris в сообщении #511710 писал(а):

1. Есть такая формула.
2. Там точно $n\to \infty\,$ а не $x\to 1\,$?

Спасибо!

1. А как получить формулу для суммы кубов?

2. Точно, вы правы, исправил!

-- 05.12.2011, 16:06 --

3. $\sum\limits_{k=1}^{n-1}k=\dfrac{1-k^n}{1-k}$

[gris]

1. В данной задаче не ставится цель выведения суммы кубов, поэтому я её привожу:
$\sum i^3=\dfrac {n^2(n+1)^2}{4}$. Далее сокращайте, приводите к общему знаменателю.
2. Приведите к общему знаменателю и применяйте эквивалентности.
3. Там тоже уточните, что к чему стремится. В принципе, я бы скобки раскрыл и сгруппировал.

[Joker_vD]

$\sum\limits_{k=1}^{n-1} k=\dfrac{n(n-1)}{2}$.

[Praded]

Возможно, так покажется удобнее для запоминания:
$1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$

[mr.tumkan]

gris в сообщении #511721 писал(а):

1. В данной задаче не ставится цель выведения суммы кубов, поэтому я её привожу:
$\sum i^3=\dfrac {n^2(n+1)^2}{4}$. Далее сокращайте, приводите к общему знаменателю.
2. Приведите к общему знаменателю и применяйте эквивалентности.
3. Там тоже уточните, что к чему стремится. В принципе, я бы скобки раскрыл и сгруппировал.

3. Точно бесконечности

1.

$$\lim\limit_{n \to \infty}\big(\dfrac{1^3+2^3+...+n^3}{n^3}-\dfrac{n}{4}\big)=\lim\limit_{n \to \infty}\big(\dfrac{4(n+1)^2-n^2}{4n}\big)=\infty$$

должно быть так?!

[Praded]

Откуда в числителе четвёрка?

[mr.tumkan]

2.

$$\lim\limit_{x \to 1}\big (\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\big)=\lim\limit_{x \to 1}\dfrac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}$$

А как применять эквивалентности, если тут $x\to 1$

-- 05.12.2011, 16:24 --

Praded в сообщении #511729 писал(а):

Возможно, так покажется удобнее для запоминания:
$1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$

Ок, да, спасибо, так удобнее, как будто сумма прогрессии $(1+2+...+n)^2=\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$

-- 05.12.2011, 16:26 --

Praded в сообщении #511731 писал(а):

Откуда в числителе четвёрка?

Потому что общий знаменатель $4n$, дополнительный множитель у первой дроби -- $4$

[Praded]

А знаменатель в первой дроби какой? А во второй? А нет ли и там, и там 4?

[mr.tumkan]

Praded в сообщении #511735 писал(а):

А знаменатель в первой дроби какой? А во второй? А нет ли и там, и там 4?

Ок, я напишу подробнее, видимо, где-то ошибся....

1.

$$\lim\limit_{n \to \infty}\big(\dfrac{1^3+2^3+...+n^3}{n^3}-\dfrac{n}{4}\big)=\lim\limit_{n \to \infty}\big(\dfrac{n^2(n+1)^2}{4n^3}-\dfrac{n}{4}\big)=\lim\limit_{n \to \infty}\big(\dfrac{(n+1)^2}{4n}-\dfrac{n}{4}\big)=$$

$$=\lim\limit_{n \to \infty}\big(\dfrac{(n+1)^2}{4n}-\dfrac{n^2}{4n}\big)=\lim\limit_{n \to \infty}\big(\dfrac{(n+1)^2-n^2}{4n}\big)=\lim\limit_{n \to \infty}\big(\dfrac{2n+1}{4n}\big)=0,5$$

[Praded]

Ещё раз смотрим, чему равна сумма кубов... Вы там 4 в знаменателе потеряли.
Вот теперь поправили по ходу. Но в разности квадратов ошиблись. Аккуратнее...

[mr.tumkan]

Praded в сообщении #511742 писал(а):

Ещё раз смотрим, чему равна сумма кубов... Вы там 4 в знаменателе потеряли.

Исправился только что, вроде так должно быть!

[Praded]

Теперь верно.

[mr.tumkan]

Спасибо, понятно!
А как с эквивалентностями быть?!