Теорема об обратной функции на всём пространстве

[Nimza]

Существует ли что-нибудь подобное (не локальное)? То есть при каких условиях на гладкое отображение $\varphi\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n}$ у него будет существовать обратное на всём пространстве? Достаточно ли ненулёвости Якобиана как в одномерном случае?

Вообще, пример $f_{1}(x,y) = x^2 - y^2$, $f_{2}(x,y) = 2xy$, $0 < x^2 + y^2 < 1$ говорит о том, что обратных отображений может быть несколько. Но мне бы хоть какое-то, определенное на всем пространстве.

[Nimza]

Нашёл теорему Адамара в Parthasarathy Th. On global univalence theorems, стр. 86:

Пусть $F \colon \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R}^n \setminus\{0\}$ --- $C^{1}$ отображение, где $n \geqslant 3$. Тогда $F$ будет диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда $F$ --- собственное и якобиан нигде не обнуляется.

Я хочу применить эту теорему к отображению областей. Тогда возникает вопрос, когда $C^{1}$ собственное отображение с ненулевым якобианом из некоторой области $U \subset \mathbb{R} \setminus \{0\}$ в область $V \subset\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ продолжается до отображения в условии теоремы?

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #510977 писал(а):

при каких условиях на гладкое отображение $\varphi\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n}$ у него будет существовать обратное на всём пространстве?

посмотрите Ниренберг Лекции по нелинейному функциональному анализу, там есть теорема типа теоремы о монодромии, еще посмотрите теоремы типа Минти, монотонность и тп.

Nimza в сообщении #510977 писал(а):

Достаточно ли ненулёвости Якобиана как в одномерном случае?

нет $z\mapsto e^z$

[Nimza]

Oleg Zubelevich в сообщении #511273 писал(а):

посмотрите Ниренберг Лекции по нелинейному функциональному анализу, там есть теорема типа теоремы о монодромии, еще посмотрите теоремы типа Минти, монотонность и тп.

Спасибо, эту книжку я смотрел. Теорема Адамара типа монодромии применяется в случае отображения банаховых пространств, области в $\mathbb{R}^{n}$ таковыми-то не являются( Ещё есть теорема Гейла-Никайдо, но в ней надо проверять миноры. Других глобальных теорем об обратной функции я вроде бы не знаю. Посмотрю док-во теоремы Адамара, может её любую область можно обобщить...

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #511380 писал(а):

Теорема Адамара типа монодромии применяется в случае отображения банаховых пространств, области в $\mathbb{R}^{n}$ таковыми-то не являются

некоторые области диффеоморфны всему пространству

Nimza в сообщении #511380 писал(а):

Посмотрю док-во теоремы Адамара, может её любую область можно обобщить...

На любую область? Ну флаг, как говорится, в руку.

[Nimza]

Oleg Zubelevich в сообщении #511392 писал(а):

некоторые области диффеоморфны всему пространству

Это я как-то упустил! Значит, теорема Адамара типа монодромии верна в открытом параллелипипеде? И вообще в любой области, диффеоморфной $\mathbb{R}^{n}$?