Радиус сходимости ряда

[mr.tumkan]

Найти радиус сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \dfrac{(x+2)^{2n}}{n}$

Для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$

Радиус сходимости можно определить по формуле

$R=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=1$

Но чему у нас равно $a_n$? У нас ведь там есть степень $(x-x_0)^{2n}$....

[Dan B-Yallay]

А каков радиус сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \dfrac{(z)^{2n}}{n}$?

[mr.tumkan]

Dan B-Yallay в сообщении #510958 писал(а):

А каков радиус сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \dfrac{(z)^{2n}}{n}$?

Не знаю, тк это такой же ряд, если сделать замену $z=x+2$

Но замена только чуть чуть упростила дело, но степенями не помогла разобраться... может лучше такую замену сделать тогда? $z=(x+2)^2$. Тогда у этого ряда будет радиус 1. Но это как-то странно будет выглядеть...

[Dan B-Yallay]

mr.tumkan в сообщении #510960 писал(а):

может лучше такую замену сделать тогда? $z=(x+2)^2$

Я Вас именно к этому и веду. $(z)^{2n}= (z^2)^n$

mr.tumkan в сообщении #510960 писал(а):

Тогда у этого ряда будет радиус 1. Но это как-то странно будет выглядеть...

Почему это?

[mr.tumkan]

Dan B-Yallay в сообщении #510961 писал(а):

Почему это?

Потому что -- тогда без разницы что там стоит за штука, которую мы обзначаем за $z$, лишь бы она не зависла от $n$. То есть следующие ряды имеют радиус сходимости $R=1$ ?

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \dfrac{(x+100500)^{101n}}{n}$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \dfrac{(100-x)^{200n}}{n}$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \dfrac{(x^2+x+2)^{11n}}{n}$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \dfrac{(\ctg x+ e^{\arccos x})^{2n}}{n}$

Там же везде можно сделать замену $z=...$

[Dan B-Yallay]

Замена $z=x \pm a$ - это элементарный линейный сдвиг на $\mp a$ который не может изменить радиус сходимости.
Поэтому первые 2 примера тоже имеют радиус сходимости 1.
А два других примера - это уже нелинейное преобразование переменной и именно счас мне разбираться с этим лень.

[Someone]

Просто найдите условие сходимости по признаку Даламбера, и после решения некоторого неравенства получите радиус сходимости.

[mr.tumkan]

Someone в сообщении #510973 писал(а):

Просто найдите условие сходимости по признаку Даламбера, и после решения некоторого неравенства получите радиус сходимости.

Вы, наверное, имеете ввиду интервал сходимости?)

-- 02.12.2011, 21:44 --

Dan B-Yallay в сообщении #510970 писал(а):

Замена $z=x \pm a$ - это элементарный линейный сдвиг на $\mp a$ который не может изменить радиус сходимости.
Поэтому первые 2 примера тоже имеют радиус сходимости 1.
А два других примера - это уже нелинейное преобразование переменной и мне именно счас разбираться с этим лень.

Ок, спасибо, понятно) То есть и возведение в степень -- тоже не может изменить радиус сходимости? $z=x^{\alpha}$ для $\alpha\in R$ ?

[Dan B-Yallay]

mr.tumkan в сообщении #510974 писал(а):

То есть и возведение в степень -- тоже не может изменить радиус сходимости? $z=x^{\alpha}$ для $\alpha\in R$ ?

Просто именно в Вашем примере (и в двух приведенных тоже) сработали особенности ряда.
Поэтому при возведении переменной в любую степень - радиус не изменится.

В общем случае это неверно.

[mr.tumkan]

Ок, спасибо! А что будет, если поменять степень у $n$ в знаменателе и еще домножить на числоЮ допустим так?

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \dfrac{(x+2)^{2n}}{5n^7}$

Делаем замену $z=x+2$, так как она не меняет радиус сходимости.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \dfrac{z^{2n}}{5n^7}$

А как тогда дальше? $y=z^2$ Но ведь вы говорите, что радиус сходимости изменится? А как он тогда изменится (просто я бы считал аналогично и получил бы $R=1$)

[bot]

mr.tumkan в сообщении #510957 писал(а):

Радиус сходимости можно определить по формуле

Можно, если предел существует, а здесь его нет, так как члены ряда через раз нулевые. Можно искать по формуле Коши-Адамара, но проще непосредственно как говорил Someone применить признак Даламбера или тот же Коши, из которого упомянутая формула и получается.

[mr.tumkan]

bot в сообщении #511027 писал(а):

mr.tumkan в сообщении #510957 писал(а):

Радиус сходимости можно определить по формуле

Можно, если предел существует, а здесь его нет, так как члены ряда через раз нулевые. Можно искать по формуле Коши-Адамара, но проще непосредственно как говорил Someone применить признак Даламбера или тот же Коши, из которого упомянутая формула и получается.

А почему же нулевые?)

[mr.tumkan]

Someone в сообщении #510973 писал(а):

Просто найдите условие сходимости по признаку Даламбера, и после решения некоторого неравенства получите радиус сходимости.

Ок!

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\cdot \dfrac{(x+2)^{2n}}{n}$$

По признаку Даламбера:

$$\lim\limits_{n\to \infty} \Big|\dfrac{(-1)^{n+1}\cdot(x+2)^{2n+2}}{n+1}\Big|:\Big|\dfrac{(-1)^{n}\cdot (x+2)^{2n}}{n}\Big|= \lim\limits_{n\to \infty} \Big|\dfrac{(x+2)^{2n+2}}{n+1}\Big|\cdot\Big|\dfrac{n}{(x+2)^{2n}}\Big|=$$

$$=\lim\limits_{n\to \infty} \Big|\dfrac{(x+2)^{2n}\cdot{(x+2)^{2}}}{n+1}\Big|\cdot\Big|\dfrac{n}{(x+2)^{2n}}\Big|=(x+2)^2\cdot \lim\limits_{n\to \infty}\frac{n}{n+1}=(x+2)^2=q$$

По признаку Даламбера при $q<1$ -- ряд сходится

$$(x+2)^2<1$$

$$|x+2|<1$$

Таким образом, радиус сходимости $R=1$
значит радиус сходимости $R=1$

[bot]

mr.tumkan в сообщении #511071 писал(а):

А почему же нулевые?)

Коэффициенты при нечётных степенях нулевые.

[mr.tumkan]

bot в сообщении #511152 писал(а):

mr.tumkan в сообщении #511071 писал(а):

А почему же нулевые?)

Коэффициенты при нечётных степенях нулевые.

Точно, понятно)