Сходимость числовых рядов

[f(a)]

Определить при каких значениях a ряд сходится:
1) абсолютно
2) условно
(при $a > 0$)

Сам ряд:

$ \Sigma _{n=1} ^\infty \sin(\frac {\sin(n)} {n^a}) $

Сначала допускаю, что a > 1, ограничивая функцию сверху:

$ \sin(\frac {\sin(n)} {n^a}) \leqslant \sin(\frac 1 {n^a}) $

Могу ли я на этом шаге применить эквивалентные? т.е. при $ n \to \infty ; a > 1 $ значение в скобках получается б.м.
Тогда остается $ \frac 1 {n^a} $ и исходный ряд сходится, причем абсолютно. Т.к. выполняется признак Лейбница.

Остается только случай, когда $0 < a < 1$. Вот тут начинается самая главная проблема. Я не знаю, какой признак тут применить...

[Хорхе]

Вам надо оценить не сверху, а по модулю, ведь ряд знакопеременный. При $a> 1$ это несложно, и ряд будет сходиться абсолютно.

При $a\le 1$ можно написать достаточно много членов разложения Тейлора, так, чтобы степень $n$ у остатка была больше 1. Первые члены будут сходиться по Дирихле, остатки -- абсолютно. Не знаю, возможно, можно и проще.

[f(a)]

Цитата:

При можно написать достаточно много членов разложения Тейлора

Можно рассказать подробнее?

[Хорхе]

Пусть $a>1/3$. Пишем $\sin(n^{-a}\sin n) = n^{-a}\sin n - r_n$, где $r_n$ -- остаточный член Лагранжа, $|r_n| < n^{-3a}$, поэтому ряд из $r_n$ сходится абсолютно. Ряд $n^{-a} \sin n$ сходится условно по Дирихле. Вот такую же штуку можно замутить для любого положительного $a$, лишь бы членов было достаточно.