Минимум области перекрытия двух квадратов

[confabulez]

Добрый день.
Задачка состоит в следующем: "Есть два одинаковых квадрата со стороной 2a. Вершина одного находится в центре второго. При каком расположении квадратов область перекрытия будет минимальной."

Попытка решения: Обозначаю угол поворота второго квадрата относительно первого $\alpha$. Тогда площадь общей части будет равна $S(\alpha)=1/2a^2(4-\tg(\alpha)-\ctg(\alpha))$. При этом $0<\alpha$<\pi/2. При $\alpha=0$ и $\alpha=\pi/2$ получаем четверть квадрата. Затем пытаюсь найти экстремум $S(\alpha), считаю производную $S'(\alpha)=(\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha))/\cos^2(\alpha)\sin^2(\alpha)$ , получаю, что $\alpha=\pi/4$ - точка максимума.

Как найти минимум? Ведь 0 и $\pi/2$ не включаются в границы интервала.

[Shtirlic]

В Ваше решение нет желания вникать, дабы не хочется гадать, какое положение вы взяли на ноль. И второй вопрос, какой угол поворота вообще есть смысл рассматривать?

[confabulez]

Если разместить систему координат т.о., что центр совпадает с центром квадрата, то за угол я принял отклонение от оси ординат. При $\alpha=0$ означает, что область перекрытия - верхняя правая четверть квадрата. Далее положительное значение угла при повороте против часовой стрелки. При $\alpha=\pi/2$ получается правая нижняя часть квадрата. Хотя, наверное, в силу симметрии есть смысл рассматривать угол $0<\alpha\leqslant\pi/4$. Но все равно не очень ясно, как минимум найти.

[ИСН]

Отклонение чего от оси ординат? Левого уха Шарика?

[confabulez]

Отклонение второго квадрата (вершина которого в центре первого) от первого. Угол между осью ординат и стороной второго квадрата.

[ИСН]

Ну, теперь задача худо-бедно поставлена, можно начинать думать.
Для начала: чему равен $\ctg 0$?

[confabulez]

Бесконечности.

[ИСН]

Надо ли пояснять, какие подозрения у меня вызывает в связи с этим Ваша формула?

[confabulez]

Так вот и у меня подозрения. Но если зафиксировать значение угла (больше нуля), то $\tg(\alpha)$ в прямоугольном треугольнике (отрезок оси ординат ) - отношение противолежащего катета к прилежащему. Находим прилежащий. Затем площадь треугольника вычисляем. Аналогично в нижнем треугольнике угол $\pi/2-\alpha$, также находим противолежащий и площадь. Затем из площади половину квадрата отнимаю площади двух треугольников. Отсюда и формула. Так разве нельзя?

[Dan B-Yallay]

То ли я задачу не понял ...

[ИСН]

confabulez в сообщении #510552 писал(а):

(...) Отсюда и формула. Так разве нельзя?

Не знаю, не следил. Вижу результат. В результате фигурирует котангенс. Чем это плохо, я уже намекнул.

[confabulez]

Dan B-Yallay в сообщении #510558 писал(а):

То ли я задачу не понял ...

Мне кажется, что заштриховать нужно общую часть, пересечение...

[ИСН]

Dan B-Yallay намекает на нечто другое, но Вы лучше пока не думайте о том. Тут более срочный вопрос есть. Формула. Котангенс. Проблема.

[Shtirlic]

confabulez
Напишите вывод формулы.

[confabulez]

С формулой я ошибся. Неправильная она. Зато глядя на рисунок Dan B-Yallay, понял, что площадь перекрытия будет одинакова и не зависит от угла. Равна $a^2$.