Как доказать, что синус не имеет предела?

[mr.tumkan]

Нужно доказать, что не существует предела последовательности $\lim\limits_{n\to \infty}\sin n$ по по определению Коши.

Определение Коши.

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \Leftrightarrow ~ \forall \varepsilon > 0 ~ \exists N = N(\varepsilon) ~ \forall n \geqslant N \colon |x_n - a| < \varepsilon$$

А как будет выглядеть отрицание, то есть то, что не существует предел?

Предположение -- не существует такого номера $N$, начиная с которого все члены последовательности будут попадать в интервал $|x_n - a| < \varepsilon$

Правильно?!

[NiGHTeR]

Почти
Формально так: $\exists \varepsilon: \forall N \ \exists n: |x_{n}-a|>\varepsilon$

[mr.tumkan]

NiGHTeR в сообщении #510329 писал(а):

Почти
Формально так: $\exists \varepsilon: \forall N \ \exists n: |x_{n}-a|>\varepsilon$

Спасибо, а подразумевается, что $n>N$ или $n<N$?

[NiGHTeR]

$n>N$

[bot]

NiGHTeR в сообщении #510329 писал(а):

Формально так

И так для каждого $a$
Может быть всё-таки требовалось использовать не определение по Коши, а критерий сходимости Коши?
Вообще эта тема здесь уже не раз всплывала - поищите.

[mr.tumkan]

Спасибо, нашел! Теперь понятно!