Доказать расходимость при помощи отрицания условия Коши

[Dosaev]

Пользуясь отрицанием условия Коши, доказать, что последовательность ${x_n}$ расходится, если $x_n$ равно:

$(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right).$

Я так понимаю, надо оценивать разность $x_{n + p} - x_n$. Чтобы она была больше либо равна какой- либо более простой последовательности, имеющей предел.
Если так, то $x_{n + p} - x_n = (-1)^{n + 1}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n + 1} + ... + (-1)^{n + p}\left(1+\frac{1}{n + p}\right)^{n + p}$. А больше чего такого красивого эта сумма может быть?

[Dan B-Yallay]

Возьмите $p$ равное единице и посмотрите, выполняется ли критерий Коши.

[ИСН]

"Дым и зеркала" - вот как это называется.
Если бы было просто $(-1)^n$, Вы бы что делали?

[Dosaev]

Dan B-Yallay в сообщении #510233 писал(а):

Возьмите $p$ равное единице и посмотрите, выполняется ли критерий Коши.

$(-1)^{n + 1}\left (1 + \frac{1}{n + 1}\right)^{n + 1} - (-1)^n\left(1+ \frac{1}{n})^n$. И? Разве тут что нибудь проясняется?

-- Ср ноя 30, 2011 21:19:20 --

ИСН в сообщении #510234 писал(а):

Если бы было просто $(-1)^n$, Вы бы что делали?

Ну это последовательность не сходится, зато ее подпоследовательности -1 и 1 стационарные.

[Dan B-Yallay]

Dosaev в сообщении #510240 писал(а):

И? Разве тут что нибудь проясняется?

Ну посчитайте полученное. Или хотя бы оцените на глаз - больше единицы или нет? А может даже еще больше? Увидите.

[Dosaev]

Эта разность меньше либо равна 4?

[SpBTimes]

достаточно одного члена в критерии. Он уже плох.

[Dan B-Yallay]

Dosaev в сообщении #510254 писал(а):

Эта разность меньше либо равна 4?

Откуда 4?

[Dosaev]

А нет. $(-1)^n \le 1$.$\left(1 + 1/n\right)^n \le 2^n$ и $\left(1 + \frac{1}{n + 1}\right)^{n + 1} \le 2^{n + 1}$

[Dan B-Yallay]

Фигасе.
Откуда Вы вообще берете степень для выражения в скобках? В первоначальном примере этого нет.

[Dosaev]

Простите пожалуйста! Последовательность такая $x_n = (-1)^n\left(1 + 1/n\right)^n$

[ИСН]

Таки я не понял: если бы было просто $(-1)^n$, Вы бы что делали? То есть да, разумеется, не сходится, но а как Вы это увидели?

[Dosaev]

так как существует окрестность $\epsilon = 1/2$.

[ИСН]

Окрестность чего? Какое отношение она имеет к делу?

[Dosaev]

Ну это доказывается, если составить отрицание определения предела. Я не знаю, какое отношение это имеет к данной задаче, просто вы спросили.