Расчет интеграла

[Astaroth.]

Здравствуйте нужна ваша помощь.

$V^{2}(R)=-R\int_{0}^{\infty }S(k)J_{1}(kR)k dk$
$J_{1}$-функция Бесселя 1го порядка
$S(k)=-2\pi G \int_{0}^{\infty }J_{0}(kr)q(r)rdr$
$J_{0}$-функция Бесселя 0го порядка.
$q(r)=q_0 \exp(-\frac{r}{L})$.

Необходимо решить аналитически или упростить чтобы была возможность численного интеграрования.

[alcoholist]

$S$ -- это преобразование Лапласа от бесселя, должно считаться

[Astaroth.]

Должно. Как можно упростить 1й интеграл?

[alcoholist]

Напишите, что получилось -- подумаем

[Astaroth.]

$S(k)=-\frac{ 2\pi G q_{0} L^{3} k \sqrt{ \frac{ k^{2} L^{2} +1}{ k^{2} L^{2}} } }{(k^{2} L^{2} +1)^{2}}$

[Astaroth.]

Astaroth. в сообщении #509957 писал(а):

$S(k)=-\frac{ 2\pi G q_{0} L^{3} k \sqrt{ \frac{ k^{2} L^{2} +1}{ k^{2} L^{2}} } }{(k^{2} L^{2} +1)^{2}}$

S(k) - Оказалось не верно.
Подсказали использовать Hankel transform http://en.wikipedia.org/wiki/Hankel_transform

Нужна ваша помощь.

[Astaroth.]

Как интегрировать если $\sigma (r) = \sigma (Rt)(1+(Rt-r)/SCL)= \sigma_{0} \exp(-\frac{Rt}{L})(1+(Rt-r)/SCL) $
Где Rt , SCL - константы

[V.V.]

Astaroth. в сообщении #510026 писал(а):

Astaroth. в сообщении #509957 писал(а):

$S(k)=-\frac{ 2\pi G q_{0} L^{3} k \sqrt{ \frac{ k^{2} L^{2} +1}{ k^{2} L^{2}} } }{(k^{2} L^{2} +1)^{2}}$

S(k) - Оказалось не верно.

Mathematica посчитала также. Только можно подсократить:
$S(k)=-\frac{2\pi G q_{0}L^2}{(k^2 L^2+1)^{3/2}}$.

Mathematica посчитала и второй интеграл. Только ответ там "страшный". Через обобщение гипергеометрической функции.

[Astaroth.]

$q(r)=q_0 \exp(-\frac{r}{L})$. с этим уже нашли.
Теперь мне необходимо получить $ V^{2}(r) $
для $\sigma (r) = \sigma (Rt) (1+(Rt-r)/SCL)= \sigma_{0} \exp(-\frac{Rt}{L}) (1+(Rt-r)/SCL) $
и $\sigma (r) = \sigma (Rt)= \sigma_{0} \exp(-\frac{Rt}{L}) $
Где Rt, SCL - константы.