Нить и шар

[mr.tumkan]

Бесконечная равномерно заряженная нить и шар расположены, как показано на рисунке. Заряд шара $Q=10^{-9}$ Кл. Линейная плотность заряда на нити $\lambda=5\cdot 10^{-10}$ Кл/см. $a = 10$ см. Окружающая среда - воздух. Определить напряженность поля в точках А и В, работу перемещения заряда $q_2=10^{-8}$ Кл из точки А в точку В. Считать, что расположение зарядов не нарушено взаимодействием



С чего начать делать?

Можно написать выражение для работы по перемещению заряда:

$A=q_2(\varphi_2-\varphi_1)$

Связь между напряженностью и потенциалом

$E=-\operatorname{grad} \varphi$

Попробую написать -- чему равны напряженности:

В точке $A$

$E_A=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon\varepsilon_0a}+\dfrac{Q}{a}$

$E_B=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon\varepsilon_02a}+\dfrac{Q}{2a}$

Что есть правильного? Какие еще законы нужно применить и как учесть $\lambda$?

[sithif]

Напряженность это вектор, поэтому $\vec E = - grad (\varphi$).
Далее у вас что то похожее на принцип суперпозиции, но опять вы не следите за векторами (и напряженность шара не правильная).

Вам нужно для начала выбрать систему координат и ее начало.
Напряженность нити вы знаете (в циллиндрических координатах $E_{\theta}$ и цетр на нити),
напряженность шара тоже знаете (в сферических координатах, центр координат в центре шара).

У вас нужно найти поле в точке это опять вектор, иногда требуется амплитуда (в декартовой системе, например, $E=\sqrt{{E_x}^2+{E_y}^2+{E_z}^2}$)

Про работу верно.

[mr.tumkan]

sithif в сообщении #509873 писал(а):

Напряженность это вектор, поэтому $\vec E = - grad (\varphi$).
Далее у вас что то похожее на принцип суперпозиции, но опять вы не следите за векторами (и напряженность шара не правильная).

Вам нужно для начала выбрать систему координат и ее начало.
Напряженность нити вы знаете (в циллиндрических координатах $E_{\theta}$ и цетр на нити),
напряженность шара тоже знаете (в сферических координатах, центр координат в центре шара).

У вас нужно найти поле в точке это опять вектор, иногда требуется амплитуда (в декартовой системе, например, $E=\sqrt{{E_x}^2+{E_y}^2+{E_z}^2}$)

Про работу верно.

Спасибо!

Напряженность шара $E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0}\cdot \dfrac{Q}{a^2}$

Давайте начало системы координат будет в центре шара

Мне как-то проще в декартовой системе координат. Тогда должно быть так

$E_A=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon\varepsilon_0a}+\dfrac{1}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0}\cdot \dfrac{Q}{a^2}$

$E_B=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon\varepsilon_02a}}$

Ось $y$ -- вверх, $x$ влево (относительно начала координат - центра шара) $z$ -на нас или от нас (думаю, что не важно)

$\varphi_B=-\int\limits_0^{2a}\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon\varepsilon_02\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}}dy$

Может действительно следовало в другой системе координат делать) Что-то нехороший интеграл

(Оффтоп)

$\dfrac{\partial a}{\partial y}=\dfrac{\partial {\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{\partial y}=\dfrac{y}{a}$

[rustot]

шар разницы потенциалов в этих точках в силу симметрии не создает
нить не создает составляющей поля вдоль себя, так что, чтобы получить разность потенциалов, достаточно проинтегрировать поле нити по горизонтали между точками $\int\limits_a^{2a}\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0x}dx = \dfrac{ln(2)\lambda}{2\pi\varepsilon_0}$

ну а поля просто независимо считать и складывать, векторно

[mr.tumkan]

rustot в сообщении #510020 писал(а):

шар разницы потенциалов в этих точках в силу симметрии не создает
нить не создает составляющей поля вдоль себя, так что, чтобы получить разность потенциалов, достаточно проинтегрировать поле нити по горизонтали между точками $\int\limits_a^{2a}\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0x}dx = \dfrac{ln(2)\lambda}{2\pi\varepsilon_0}$

ну а поля просто независимо считать и складывать, векторно

Спасибо! А зачем тогда в условии дан заряд шара?

Затем мы ужножаем эту разность потенциалов на заряд нити и получаем работу по перемещению заряда?

[rustot]

ну там же не только работа спрашивается. для вычисления напряженности поля в точка заряд шара пригодится

[mr.tumkan]

Спасибо!!!
Я так понял, что работа будет равна

$A=\dfrac{ln(2)\lambda\cdot q_2}{2\pi\varepsilon_0}$

-- 30.11.2011, 14:46 --

Эх, как бы векторно посчитать

$\vec{E_a}=\vec{E_{\text{шара в точке А}}}+\vec{E_{\text{нити в точке А}}}$

[rustot]

а вы нарисуйте поля шара и нити и сразу видно будет как посчитать. угол то между ними какой?

[mr.tumkan]

$\alpha=\pi/2$

Все равно не понимаю -- как посчитать(

Лишь понимаю, что раз такой угол, то какие-то составляющие -- будут равны нулю 100%

[rustot]

хм. горизонтальный вектор длиной 4 с вертикальным длиной 3 сложить, какой длины вектор получится? :)

[mr.tumkan]

rustot в сообщении #510049 писал(а):

хм. горизонтальный вектор длиной 4 с вертикальным длиной 3 сложить, какой длины вектор получится? :)

Получится вектор длиной 5, под неким углом $\alpha=\arcsin 0,75$

[rustot]

ну дак так же $E = \sqrt{E_1^2+E_2^2}$, вас же про угол не спрашивают. а в точке B они сонаправленны, так что просто сложить

[mr.tumkan]

Поле создаваемое равномерно заряженным шаром равно:
E_s=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2},R_0\le r
E_s=\frac{Q}{3V\epsilon_0}r,r<R_0
где R_0,Q,V радиус шара, полный заряд шара и объем шара соответственно.

E_y=E_s=\left\{ \begin{array}{rl} Q/(4\pi\epsilon_0y^2), & R_0\le y \\ Qy/(3V\epsilon_0), & y<R_0 \end{array}
Проекция на ось x при перемещении вдоль отрезка центр сферы - В:
E_x=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0x}+E_s,
где
E_s=\left\{ \begin{array}{rl} Q/(4\pi\epsilon_0x^2), & R_0\le x \\ Qx/(3V\epsilon_0), & x<R_0 \end{array}

А что дальше делать?

[rustot]

зачем вам это все? поля внутри шара и прочее? у вас стоит задача найти поле в 2 точках вне шара, а не нарисовать всю картину поля.

заряженый шар вне себя создает такое же поле как точечный заряд в его центре. определили какое поле $E_{1a}$ создает шар в точке А, какое поле $E_{2a}$ создает нить в точке А, сложили их векторно $E_a=\sqrt{E_{1a}^2+E_{2a}^2}$ поскольку они явно под прямым углом. А для точки Б векторное сложение просто сложение модулей

[mr.tumkan]

Спасибо, попробую!!
P.S. Что ж я тупил так, это же так очевидно)

$E_{a1}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0}\cdot \dfrac{Q}{a^2}$

$E_{a2}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon\varepsilon_0a}$

$E_a=\sqrt{\dfrac{1}{16\pi^2\varepsilon^2\varepsilon_0^2}\cdot \dfrac{Q^2}{a^4}+\dfrac{\lambda^2}{4\pi^2\varepsilon^2\varepsilon_0^2a^2}}$

$E_{b}=\Big|\dfrac{1}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0}\cdot \dfrac{Q}{a^2}\big|+\Big|\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon\varepsilon_02a}\Big|$

Правильно?!!

-- 30.11.2011, 20:45 --

-- 30.11.2011, 20:47 --

(Оффтоп)

Если это неправильно, то придется сковородкой себе по голове постучать, чтоб все встало на свои места)))