Ограниченность оператора

[ShMaxG]

Является ли оператор $\[A:C_0^2\left[ {a,b} \right] \to C\left[ {a,b} \right]\]$, $\[\left( {Ax} \right)\left( t \right) = x''\left( t \right)\]$, где $\[x\left( a \right) = x\left( b \right) = 0\]$ ограниченным?

По всей видимости нет, так как для этого ограниченным должно быть$ \[\frac{{{{\left\| {x''} \right\|}_C}}}{{{{\left\| x \right\|}_{{C^2}}}}}\]$, но вторая производная может вести себя как угодно, вне зависимости от самой функции и это значение вообще говоря неограничено. Верно?

-- Ср ноя 30, 2011 11:40:26 --

Это возникло вот в какой задаче.

Пусть $\[C_0^2\left[ {a,b} \right]\]$ - пространство дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке $\[\left[ {a,b} \right]\]$ функций, обращающихся в ноль на концах отрезка. Рассмотрим оператор $\[F:C_0^2\left[ {a,b} \right] \to C\left[ {a,b} \right]\] $ такой, что $\[\left( {Fx} \right)\left( t \right) = x''\left( t \right) + f\left( {x\left( t \right),t} \right)\]$ , где функции $\[f\left( {x,t} \right)\]$ и $\[{f_x}\left( {x,t} \right)\]$ непрерывны на $\[\left[ { - r,r} \right] \times \left[ {a,b} \right]\]$. Доказать, что $\[\left( {F'\left( x \right)z} \right)\left( t \right) = z''\left( t \right) + {f_x}\left( {x\left( t \right),t} \right)z\left( t \right)\]$ (дифференцирование Фреше).

Мне осталось показатьо только, что оператор $\[F'\]$ является ограниченным. Со вторым слагаемым понятно, а с первым нет.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #509952 писал(а):

так как для этого ограниченным должно быть$ \[\frac{{{{\left\| {x''} \right\|}_C}}}{{{{\left\| x \right\|}_{{C^2}}}}}\]$,

Так знаменатель попросту больше числителя -- при стандартной норме в $C^2$; и уж всяко не меньше, даже если переопределить эту норму с учётом граничных условий.

[ShMaxG]

Ааа, точно. Я думал, что $\[{\left\| x \right\|_{{C^2}}} = {\left\| x \right\|_C} + {\left\| {x'} \right\|_C}\]$, а не $\[{\left\| x \right\|_{{C^2}}} = {\left\| x \right\|_C} + {\left\| {x'} \right\|_C} + {\left\| {x''} \right\|_C}\]$.

-- Ср ноя 30, 2011 11:53:06 --

Спасибо!

[мат-ламер]

ShMaxG в сообщении #509952 писал(а):

но вторая производная может вести себя как угодно, вне зависимости от самой функции и это значение вообще говоря неограничено. Верно?

Действительно, взять последовательность синусоид с постоянной амплитудой и со всё увеличивающей частотой. Всё остальное не понял. Возможно не разобрался с условием.