диэдрическая группа правильного многоугольника ...

[geniy88]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться с одним примером :)

Пример: Дана диэдрическая группа правильного многоугольника.
x=(12345), y=(25)(34).

Как доказать что, (25)(34)(12345)(25)(34)=(15432). Дело в том что, геометрически показать получается, а вот как решить с помощью вычислений не знаю.

Заранее Благодарен!

[JMH]

Вероятно я не вполне понимаю (или вполне не понимаю) условие задачи, потому, что мне видится следующее: если перемножить (25)(34)(12345)(25)(34), то получится тождественная подстановка, т.о. Вам нужно показать, что (15432) переводит Ваш правильный многоугольник в себя, т.е. смежность вершин сохраняется.

[geniy88]

а вы как вычисляли? можно ли вычислять как для симметричных групп?

Я сделал так:
если брать правильный 5-ник и обозначить вершины через 1,2,3,4,5 то (25)(34) нам даст 5-ник 1,5,4,3,2 если потом умножать на (12345) то это поворот, и мы получаем 5-ник с вершинами 2,1,5,4,3 и под конец (25)(34) нам дает 5-ник с вершинами 5,1,2,3,4
Отсюда как я понял 1,2,3,4,5 перешел в 5,1,2,3,4
значит 1 ---> 5
2 ---> 1
3 ---> 2
4---->3
5 ---> 4 ,
а это и есть (15432).

[JMH]

То, что Вы описали, очень хорошо для понимания сути происходящего и может считаться решением. Однако, учитывая, что задача дана в рамках теории групп, как следует из названия темы, от Вас ожидали другого.

Я, собственно, просто перемножал подстановки (злостно ициннично воспользовавшись Wolfram Alpha, но Вам этого делать не следует). Вы умеете перемножать подстановки? Если нет, то срочно читать учебник, т.к. это и есть то, чего от Вас ждут.
Далее следует проверка смежности, т.е. того, что пары смежных вершин, при отображении, определяемом подстановкой (15432) сохраняются.

[geniy88]

чтобы умножить, их нужно записать в развернутом виде

1 2 3 4 5 | 1 2 3 4 5 | 1 2 3 4 5 | 1 2 3 4 5 | 1 2 3 4 5
1 5 3 4 2 | 1 2 4 3 5 | 1 2 3 4 5 | 1 5 3 4 2 | 1 2 4 3 5

но после умножения у меня получается
1 2 3 4 5 , а это 12345
1 2 3 4 5




А зачем нужна проверка смежности?

[JMH]

Получается 1,2,3,4,5, следовательно Ваше подстановка тождественная, т.е. (25)(34)(12345)(25)(34) переводит многоугольник в себя.

А смежность нужно проверять потому, что если некая пара смежных вершин, после применения подстановки, стала несмежной, то такая подстановка не входит в диэдрическую группу.

[VAL]

JMH в сообщении #509895 писал(а):

Вероятно я не вполне понимаю (или вполне не понимаю) условие задачи, потому, что мне видится следующее: если перемножить (25)(34)(12345)(25)(34), то получится тождественная подстановка, т.о.

Вероятно верно замечание в скобках
Перемножив указанные перестановки получаем именно (15432), а не тождественную перестановку.

-- 30 ноя 2011, 08:17 --

geniy88 в сообщении #509899 писал(а):

Я сделал так:
если брать правильный 5-ник и обозначить вершины через 1,2,3,4,5 то (25)(34) нам даст 5-ник 1,5,4,3,2 если потом умножать на (12345) то это поворот, и мы получаем 5-ник с вершинами 2,1,5,4,3 и под конец (25)(34) нам дает 5-ник с вершинами 5,1,2,3,4
Отсюда как я понял 1,2,3,4,5 перешел в 5,1,2,3,4
значит 1 ---> 5
2 ---> 1
3 ---> 2
4---->3
5 ---> 4 ,
а это и есть (15432).

С помощью вычислений все то же самое, только без пятиугольника

Вам надо перемножить (25)(34)(12345)(25)(34).
Начнем с 1, последовательно отслеживая ее образ, образ образа и т.д., двигаясь слева направо по Вашей записи:
в первых двух скобках 1 нет; в третьей она переходит 2; в четвертой 2 переходит в 5; в пятой 5 отсутствует. Итого 1 переходит в 5.
Теперь проделываем все то же самое с 5 и выясняем, что 5->2->3->4.
И т.д., пока не получим (15432).

[JMH]

VAL в сообщении #509922 писал(а):

Перемножив указанные перестановки получаем именно (15432), а не тождественную перестановку.

Видимо меня Woolfram обманул, я, как чеснтно сознался, воспользовался им.

[VAL]

geniy88 в сообщении #509903 писал(а):

чтобы умножить, их нужно записать в развернутом виде

1 2 3 4 5 | 1 2 3 4 5 | 1 2 3 4 5 | 1 2 3 4 5 | 1 2 3 4 5
1 5 3 4 2 | 1 2 4 3 5 | 1 2 3 4 5 | 1 5 3 4 2 | 1 2 4 3 5

но после умножения у меня получается
1 2 3 4 5 , а это 12345
1 2 3 4 5

Во-первых, перемножать перестановки в цикловом виде ничуть не сложнее, чем в двухстрочном (см. мой предыдущий пост).
А во-вторых, вместо сомножителя (12345) зачем-то взяли тождественную перестановку. И в ответе, разумеется получили тождественную (она ведь сопряжена только самой себе).

Ваш цикл длины 5 (поворот на 108 градусов) в двухстрочном виде выглядит так:

$$\left(\begin{array}{ccccc} 1&2&3&4&5\\ 2&3&4&5&1 \end{array} \right)$$

[geniy88]

ах вот оно что я как-то механически тождественную взял вместо (12345). Все, получилось!!!! Спасибо за помощь!!!