Задача про многообразие.

[3.14]

Показать, что на плоскости $\mathbb{R}^2$ можно ввести такую структуру гладкого двумерного многообразия, что множество $y = x^2$ не будет гладким одномерным подмногообразием.

[alcoholist]

Введем гладкость картой

$$ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2,\quad f(x,y)=(x^{1/3},y). $$

[3.14]

можете немножко пояснить...

[alcoholist]

Понятно, что это -- карта?

[3.14]

нет

[alcoholist]

Картой $(U,\varphi)$ на топологическом пространстве $M$ называется открытое подмножество $U\subset M$ вместе с гомеоморфизмом $\varphi:U\to V$, где $V$ -- область в соответствующем $\mathbb{R}^n$.

Атласом... это уже не важно, у нас карта одна.

В точке $(0,0)$ у нашего подмножества $y=x^2$ отсутствует касательное пространство.

[3.14]

$N = \lbrace y = x^2 \rbrace$ - наше подмножество, чтобы оно не было подмногообразием нужно, чтобы $f(U(P) \cap N)$ - не было регулярной неявной поверхностью, где $U(P)$ - карта, $f$ - гомеоморфизм.
У вас $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, f(x,y) = (x^{1/3}, y)$, $U(P) = \mathbb{R}^2$