0ригинальное доказательство ВТФ для n=3

[Belfegor]

Итак: надо доказать, что выражение $X^3 + Y^3 = Z^3 $ (I)

не выполняется при любыхX,Y,Z \in N;X,Y,Z - взаимно простые числа
Пусть
$\begin{array}{l} Z - X = m_1 (1) \\ Z - Y = k_1 (2) \\ X + Y = t_1 (3) \\ Z^3 = t_1 t_2 (4) \\ Y^3 = m_1 m_2 (5) \\ X^3 = k_1 k_2 (6) \\ \end{array} $

Соответственно, если X,Y,Z-взаимно простые числа, то и их сомножители тоже взаимно простые числа.
После преобразования выражения (I) получаем:

$\begin{array}{l} 3k_1 m_1 t_1 = (t_1 - Z)^3 (7) \\ 3k_1 m_1 t_1 = (Y - m_1 )^3 (8) \\ 3k_1 m_1 t_1 = (X - k_1 )^3 (9) \\ \end{array} $

Получили утроенное произведение трёх взаимно простых сомножителей равное кубу.
Отсюда следует, что два из трех сомножителей всегда кубы, а третий имеет вид $3^2d^3$ :
Предположим, что кратен 3 сомножитель $m_1$ , тогда имеем:

$\begin{array}{l} Z - X = 9b_1^3 (10) \\ Z - Y = a_1^3 (11) \\ X + Y = c_1^3 (12) \\ Z^3 = c_1^3 c_2^3 (13) \\ Y^3 = 27b_1^3 b_2^3 (14) \\ X^3 = a_1^3 a_2^3 (15) \\ \end{array} $

Далее

$\begin{array}{l} 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3 = (c_1^3 - Z)^3 (16) \\ 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3 = (Y - 3^2 b_1^3 )^3 (17) \\ 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3 = (X - a_1^3 )^3 (18) \\ \end{array}$

Далее

$\begin{array}{l} 3a_1 b_1 = c_1^2 - c_2 (19) \\ a_1 c_1 = b_2 - 3b_1^2 (20) \\ 3b_1 c_1 = a_2 - a_1^2 (21) \\ \end{array}$

Возведем в куб (10), (11) и (12)

$\begin{array}{l} (Z - X)^3 = 9^3 b_1^9 (22) \\ (Z - Y)^3 = a_1^9 (23) \\ (X + Y)^3 = c_1^9 (24) \\ \end{array} $

Преобразуем (22)

$\begin{array}{l} Z^3 - 3Z^2 X + 3ZX^2 - X^3 = 9^3 b_1^9 \\ Z^3 - 3ZX(Z - X) - X^3 = 9^3 b_1^9 \\ Y^3 - 3ZXY = 9^3 b_1^9 \\ \end{array}$

Аналогично с (23) и (24)
В итоге получаем
$\begin{array}{l} 3ZXY = Y^3 - 9^3 b_1^9 (25) \\ 3ZXY = X^3 - a_1^9 (26) \\ 3ZXY = c_1^9 - Z^3 (27) \\ \end{array}$
Если заменить для наглядности девятую степень на третью

$\begin{array}{l} 3ZXY = Y^3 - 9^3 b_3^3 (28) \\ 3ZXY = X^3 - a_3^3 (29) \\ 3ZXY = c_3^3 - Z^3 (30) \\ \end{array} $
Мы увидим, что при любых вариантах сочетания кубов и $3^2 d^3$ из (7), (8) и (9)
всегда будем иметь равенство в общем виде:
$ \alpha ^3 - \beta ^3 = \gamma ^3 - \phi ^3$ (31)

Из равенств (26) и (27) получаем

$\begin{array}{l} c_1^9 - Z^3 = X^3 - a_1^9 \\ c_1^3 (c_1^6 - c_2^3 ) = a_1^3 (a_2^3 - a_1^6 ) \\ c_1^3 (c_1^6 - c_2^3 ) = a_1^3 (a_2 - a_1^2 )((a_2 - a_1^2 )^2 + 3a_1^2 a_2 )(32) \\ \end{array}$

Так как $c_1^3 \bot a_1^3 $
то $c_1^3 $ кратно $(a_2 - a_1^2 )((a_2 - a_1^2 )^2 + 3a_1^2 a_2 )$

Согласно (21) $c_1 $ кратно $(a_2 - a_1^2 )$

Так как $c_1 \bot 3a_1^2 a_2 $
то $c_1^3 \bot (a_2 - a_1^2 )((a_2 - a_1^2 )^2 + 3a_1^2 a_2 )$

Значит равенство (32) не выполняется
С учетом общего равенства (31) и во всех других случаях сочетания кубов и из (7), (8) и (9) мы придем к аналогичному противоречию.
Итак: доказано, что выражение $X^3 + Y^3 = Z^3 $ (I)
не выполняется при любыхX,Y,Z \in N;X,Y,Z - взаимно простые числа

[migmit]

Belfegor в сообщении #508996 писал(а):

$\begin{array}{l} Z^3 - 3ZX(Z - X) - X^3 = 9^3 b_1^9 \\ Y^3 - 3ZXY = 9^3 b_1^9 \\ \end{array}$

Не понял. То, что $Z^3-X^3$ можно заменить на $Y^3$ - это понятно. Но $Z-X$ вы, похоже, заменяете на $Y$, а это уже что-то не то.

[Belfegor]

migmit в сообщении #509095 писал(а):

Belfegor в сообщении #508996 писал(а):

$\begin{array}{l} Z^3 - 3ZX(Z - X) - X^3 = 9^3 b_1^9 \\ Y^3 - 3ZXY = 9^3 b_1^9 \\ \end{array}$

Не понял. То, что $Z^3-X^3$ можно заменить на $Y^3$ - это понятно. Но $Z-X$ вы, похоже, заменяете на $Y$, а это уже что-то не то.

Ещё бы Вот ведь как леший водит, очередная фига Хорошо, хоть простое доказательство Виноват, ошибка неисправимая, доказательство снимается!

[zhoraster]

Помещаю в "Чулан".