2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 0ригинальное доказательство ВТФ для n=3
Сообщение27.11.2011, 22:53 


16/08/09
304
Итак: надо доказать, что выражение $X^3  + Y^3  = Z^3 $ (I)

не выполняется при любыхX,Y,Z \in N;X,Y,Z - взаимно простые числа
Пусть
$\begin{array}{l}
 Z - X = m_1 (1) \\ 
 Z - Y = k_1 (2) \\ 
 X + Y = t_1 (3) \\ 
 Z^3  = t_1 t_2 (4) \\ 
 Y^3  = m_1 m_2 (5) \\ 
 X^3  = k_1 k_2 (6) \\ 
 \end{array}
$

Соответственно, если X,Y,Z-взаимно простые числа, то и их сомножители тоже взаимно простые числа.
После преобразования выражения (I) получаем:

$\begin{array}{l}
 3k_1 m_1 t_1  = (t_1  - Z)^3 (7) \\ 
 3k_1 m_1 t_1  = (Y - m_1 )^3 (8) \\ 
 3k_1 m_1 t_1  = (X - k_1 )^3 (9) \\ 
 \end{array}
$

Получили утроенное произведение трёх взаимно простых сомножителей равное кубу.
Отсюда следует, что два из трех сомножителей всегда кубы, а третий имеет вид $3^2d^3$ :
Предположим, что кратен 3 сомножитель $m_1$ , тогда имеем:

$\begin{array}{l}
 Z - X = 9b_1^3 (10) \\ 
 Z - Y = a_1^3 (11) \\ 
 X + Y = c_1^3 (12) \\ 
 Z^3  = c_1^3 c_2^3 (13) \\ 
 Y^3  = 27b_1^3 b_2^3 (14) \\ 
 X^3  = a_1^3 a_2^3 (15) \\ 
 \end{array}
$

Далее

$\begin{array}{l}
 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3  = (c_1^3  - Z)^3 (16) \\ 
 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3  = (Y - 3^2 b_1^3 )^3 (17) \\ 
 3a_1^3 (3^2 b_1^3 )c_1^3  = (X - a_1^3 )^3 (18) \\ 
 \end{array}$

Далее

$\begin{array}{l}
 3a_1 b_1  = c_1^2  - c_2 (19) \\ 
 a_1 c_1  = b_2  - 3b_1^2 (20) \\ 
 3b_1 c_1  = a_2  - a_1^2 (21) \\ 
 \end{array}$

Возведем в куб (10), (11) и (12)

$\begin{array}{l}
 (Z - X)^3  = 9^3 b_1^9 (22) \\ 
 (Z - Y)^3  = a_1^9 (23) \\ 
 (X + Y)^3  = c_1^9 (24) \\ 
 \end{array}
$

Преобразуем (22)

$\begin{array}{l}
 Z^3  - 3Z^2 X + 3ZX^2  - X^3  = 9^3 b_1^9  \\ 
 Z^3  - 3ZX(Z - X) - X^3  = 9^3 b_1^9  \\ 
 Y^3  - 3ZXY = 9^3 b_1^9  \\ 
 \end{array}$

Аналогично с (23) и (24)
В итоге получаем
$\begin{array}{l}
 3ZXY = Y^3  - 9^3 b_1^9 (25) \\ 
 3ZXY = X^3  - a_1^9 (26) \\ 
 3ZXY = c_1^9  - Z^3 (27) \\ 
 \end{array}$
Если заменить для наглядности девятую степень на третью

$\begin{array}{l}
 3ZXY = Y^3  - 9^3 b_3^3 (28) \\ 
 3ZXY = X^3  - a_3^3 (29) \\ 
 3ZXY = c_3^3  - Z^3 (30) \\ 
 \end{array}
$
Мы увидим, что при любых вариантах сочетания кубов и $3^2 d^3$ из (7), (8) и (9)
всегда будем иметь равенство в общем виде:
$ \alpha ^3  - \beta ^3  = \gamma ^3  - \phi ^3$ (31)

Из равенств (26) и (27) получаем

$\begin{array}{l}
 c_1^9  - Z^3  = X^3  - a_1^9  \\ 
 c_1^3 (c_1^6  - c_2^3 ) = a_1^3 (a_2^3  - a_1^6 ) \\ 
 c_1^3 (c_1^6  - c_2^3 ) = a_1^3 (a_2  - a_1^2 )((a_2  - a_1^2 )^2  + 3a_1^2 a_2 )(32) \\ 
 \end{array}$

Так как $c_1^3  \bot a_1^3 $
то $c_1^3  $ кратно $(a_2  - a_1^2 )((a_2  - a_1^2 )^2  + 3a_1^2 a_2 )$

Согласно (21) $c_1 $ кратно $(a_2  - a_1^2 )$

Так как $c_1   \bot 3a_1^2 a_2 $
то $c_1^3  \bot  (a_2  - a_1^2 )((a_2  - a_1^2 )^2  + 3a_1^2 a_2 )$

Значит равенство (32) не выполняется
С учетом общего равенства (31) и во всех других случаях сочетания кубов и из (7), (8) и (9) мы придем к аналогичному противоречию.
Итак: доказано, что выражение $X^3  + Y^3  = Z^3 $ (I)
не выполняется при любыхX,Y,Z \in N;X,Y,Z - взаимно простые числа

 Профиль  
                  
 
 Re: 0ригинальное доказательство ВТФ для n=3
Сообщение28.11.2011, 10:20 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Belfegor в сообщении #508996 писал(а):
$\begin{array}{l}
 Z^3  - 3ZX(Z - X) - X^3  = 9^3 b_1^9  \\ 
 Y^3  - 3ZXY = 9^3 b_1^9  \\ 
 \end{array}$

Не понял. То, что $Z^3-X^3$ можно заменить на $Y^3$ - это понятно. Но $Z-X$ вы, похоже, заменяете на $Y$, а это уже что-то не то.

 Профиль  
                  
 
 Re: 0ригинальное доказательство ВТФ для n=3
Сообщение28.11.2011, 17:10 


16/08/09
304
migmit в сообщении #509095 писал(а):
Belfegor в сообщении #508996 писал(а):
$\begin{array}{l}
 Z^3  - 3ZX(Z - X) - X^3  = 9^3 b_1^9  \\ 
 Y^3  - 3ZXY = 9^3 b_1^9  \\ 
 \end{array}$

Не понял. То, что $Z^3-X^3$ можно заменить на $Y^3$ - это понятно. Но $Z-X$ вы, похоже, заменяете на $Y$, а это уже что-то не то.

Ещё бы :shock: Вот ведь как леший водит, очередная фига :lol: Хорошо, хоть простое доказательство :-) Виноват, ошибка неисправимая, доказательство снимается!

 Профиль  
                  
 
 Re: 0ригинальное доказательство ВТФ для n=3
Сообщение10.12.2011, 17:06 
Модератор
Аватара пользователя


30/06/10
980
 i  Помещаю в "Чулан".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group