Доказать неравенство

[Andrei94]

1. Нужно доказать неравенство

$-\frac{\pi}2x<\sin x<x$

Есть идея перейти к пределам, но не могу обосновать четко - почему мы имеем право так сделать:

$\lim\limits_{x\to 0}(-\frac{\pi}2x)\le\lim\limits_{x\to 0}(\sin x)\le \lim\limits_{x\to 0} x$

Почему $x$ стремится именно к нулю?

$\lim\limits_{x\to 0}(-\frac{\pi}2)\le\lim\limits_{x\to 0}(\frac{\sin x}{x})\le \lim\limits_{x\to 0} 1$

$(-\frac{\pi}2)\le1\le 1$

2. Найти промежутки возрастания и убывания функции $y=x+|\sin{2x}|$

Дело в том, что хочу исследовать знак производной, но как брать производную от модуля величины?

[ewert]

Andrei94 в сообщении #508784 писал(а):

Есть идея перейти к пределам,

Нет и не может быть такой идеи: предел -- он всего лишь в точке.

Оценку сверху легко получить через производную, но вообще-то она следует непосредственно из определения синуса (из того, что хорда меньше дуги). Оценка снизу следует из выпуклости синуса, т.е. из знакопостоянства второй производной. Но всё это, конечно, если исправить утверждение; в том виде, как оно есть сейчас -- оно отчасти неверно, отчасти нелепо.

[Andrei94]

Точнее вот такое нер-во нужно доказать* (перепеутал знак)
$\frac{\pi}2x<\sin x<x$ для $x>0$

-- 27.11.2011, 15:33 --

ewert в сообщении #508789 писал(а):

Оценку сверху легко получить через производную, но вообще-то она следует непосредственно из определения синуса (из того, что хорда меньше дуги).

Спасибо, это понял!

ewert в сообщении #508789 писал(а):

Оценка снизу следует из выпуклости синуса, т.е. из знакопостоянства второй производной. Но всё это, конечно, если исправить утверждение; в том виде, как оно есть сейчас -- оно отчасти неверно, отчасти нелепо.

А это не очень понятно, ведь $(\sin x)''=-\sin x$

Разве синус знакопостоянен?

[ewert]

Andrei94 в сообщении #508792 писал(а):

А это не очень понятно

А Вы пока ещё недоисправили.

[Andrei94]

ewert в сообщении #508794 писал(а):

Andrei94 в сообщении #508792 писал(а):

А это не очень понятно

А Вы пока ещё недоисправили.

А как тогда доказать "после исправления"?)

Я еще дробь лишний раз перевернул)
Окончательный вариант!

$\frac{2}{\pi}x<\sin x<x$ для $x>0$

Осталость только вот это понять $\frac{2}{\pi}x<\sin x$

А как во втором с производной модуля?

[ewert]

Andrei94 в сообщении #508798 писал(а):

$\frac{2}{\pi}x<\sin x<x$ для $x>0$

Это уже почти правильно. Вот только условия на иксы не годятся.

[Andrei94]

Вот так!!!

$\frac{2}{\pi}x<\sin x<x$ для $0<x<\pi/2$

-- 27.11.2011, 15:55 --

На этом промежутке - синус "выпукл" вверх, а что еще нужно для доказательства?

[ewert]

Andrei94 в сообщении #508802 писал(а):

$\frac{2}{\pi}x<\sin x<x$ для $0<x<\pi/2$

Правильно. Теперь нарисуйте на одной картинке график синуса и обе прямые и посмотрите, как они друг с дружкой попарно пересекаются.

-- Вс ноя 27, 2011 16:57:11 --

Andrei94 в сообщении #508792 писал(а):

Разве синус знакопостоянен?

Смотря где.

[Andrei94]

Спасибо!! А как-то алгебраически это можно доказать?!

-- 27.11.2011, 16:09 --

Как быть с этим?

2. Найти промежутки возрастания и убывания функции $y=x+|\sin{2x}|$

Дело в том, что хочу исследовать знак производной, но как брать производную от модуля величины?

[ewert]

Andrei94 в сообщении #508812 писал(а):

А как-то алгебраически это можно доказать?!

Использовать выпуклость синуса и его значения на концах.

Andrei94 в сообщении #508812 писал(а):

как брать производную от модуля величины?

Никак. Просто анализируйте поведение производной на каждом из промежутков, на которых модуль раскрывается определённым образом.

[Andrei94]

Спасибо, первое задание понятно

2. Найти промежутки возрастания и убывания функции $y=x+|\sin{2x}|$

$$y=x+|\sin{2x}|= \begin{cases} \ \ x-\sin{2x}, & {\pi}+2\pi k \le x\le \pi+2\pi k \\ x+\sin{2x}, & 2\pi k \le x\le \pi+2\pi k \end{cases}$$

Там промежутки, на которых определена производная -- меняются или нет? Я думаю, что -- да.

$$y'=1+|\cos{2x}|= \begin{cases} \ \ 1-\cos{2x}, & \frac{\pi}2+2\pi k \le x\le \frac{\pi}+2\pi k \\ 1+\cos{2x}, & -\frac{\pi}2+2\pi k \le x\le \frac{\pi}2+2\pi k \end{cases}$$

[Andrei94]

Все таки не очень понятно первое задание про док-во $\frac{2}{\pi}x<\sin x<x$ для $0<x<\pi/2$

Допустим, что мы хотим алгебраически доказать $\sin x<x$

Да, на концах промежутка, значения совпадают, да $\sin x$ -- выпукла вверх, $y=x$ не выпукла вообще, но какую-то теорему мы использовали или это очевидно?

А если мы рассмотрим это неравенство $\frac{2}{\pi}x<\sin x$ -- то тут хначения на одном конце только совпадает и все...Как тут доказать алгебраически?

-- 28.11.2011, 12:58 --

Можно ли сказать, что функция $\dfrac{2}{\pi}x-\sin x$ монотонно возрастает на $x\in(0;\pi/2)$ => $\dfrac{2}{\pi}x<\sin x$?