Тензор теплопроводности

[Pete[r]]

Добрый день!

Есть нестационарное уравнение теплопроводности.
$\frac{\partial u(x,y)}{\partial t} - \frac{\alpha(x,y)}{k(x,y)} \nabla k(x,y) \nabla u(x,y) - \alpha(x,y) \Delta u(x,y) = \frac{\alpha(x,y)}{k(x,y)} p(x,y)$

Решение находится в прямоугольнике. Среда анизотропная, но задана численно на сетке: коэффициент теплопроводности, коэффициент температуропроводности в каждом узле.
Это уравнение надо решать с тензорами теплопроводности или можно применить метод переменных направлений, но в каждом узле брать свой коэффициент теплопроводности и температуропроводности?

Шаг по x:
$ &\frac{2}{\bigtriangleup t} \Bigl(u^{n+\frac{1}{2}}_{ij} - u^{n}_{ij}\Bigr) - \frac{\alpha}{k} \Bigl(\frac{\partial k}{\partial x} \frac{u^{n+\frac{1}{2}}_{i+1j} - u^{n+\frac{1}{2}}_{ij} }{\bigtriangleup x} + \frac{\partial k}{\partial y} \frac{u^n_{ij+1} - u^n_{ij} }{\bigtriangleup y}\Bigr) - \alpha \Bigl( \frac{u^{n+\frac{1}{2}}_{i+1j} - 2u^{n+\frac{1}{2}}_{ij} + u^{n+\frac{1}{2}}_{i-1j} }{\bigtriangleup x^2} + \frac{u^n_{ij+1} - 2u^n_{ij} + u^n_{ij-1} }{\bigtriangleup y^2}\Bigr) = \frac{\alpha}{k} p$

Шаг по y:

$\frac{2}{\bigtriangleup t} \Bigl(u^{n+1}_{ij} - u^{n+\frac{1}{2}}_{ij}\Bigr) - \frac{\alpha}{k} \Bigl(\frac{\partial k}{\partial x} \frac{u^{n+\frac{1}{2}}_{i+1j} - u^{n+\frac{1}{2}}_{ij} }{\bigtriangleup x} + \frac{\partial k}{\partial y} \frac{u^{n+1}_{ij+1} - u^{n+1}_{ij} }{\bigtriangleup y}\Bigr) - \alpha \Bigl( \frac{u^{n+\frac{1}{2}}_{i+1j} - 2u^{n+\frac{1}{2}}_{ij} + u^{n+\frac{1}{2}}_{i-1j} }{\bigtriangleup x^2} + \frac{u^{n+1}_{ij+1} - 2u^{n+1}_{ij} + u^{n+1}_{ij-1} }{\bigtriangleup y^2}\Bigr) = \frac{\alpha}{k} p$

И подскажите, пожалуйста, если решать надо с тензорами, то как найти тензор теплопроводности по его значениям в узлах сетки?
А, если можно решать методом переменных направлений, то в каких узлах надо брать $k$ и $\alpha$ ----> $[i][j], [i-1][j], [i+1][j], [i][j-1], [i][j+1]$, если вносить его в скобки $\Bigl(\frac{\partial k}{\partial x} \frac{u^{n+\frac{1}{2}}_{i+1j} - u^{n+\frac{1}{2}}_{ij} }{\bigtriangleup x} + \frac{\partial k}{\partial y} \frac{u^n_{ij+1} - u^n_{ij} }{\bigtriangleup y}\Bigr)$