Нефредгольмово Интегральное уравнение.

[Morkonwen]

Здравствуйте поскольку ни о каких резольвентах, полезных теоремах в этом случае речи нет, то просто не знаю что делать с вот этим :
$\phi(x)=\lambda \int^\infty_0 \phi(t)\,\sin(x\,t)\,dt$

единственное что удалось придумать это что вроде бы решения есть при $\lambda=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ ну и конечно, что $ \phi(0)=0$

[mad1math]

Предлагаю использовать

$F(x)=e^{-\alpha x}$

$\alpha>0$

-- 26.11.2011, 07:33 --

Morkonwen в сообщении #508207 писал(а):

просто не знаю что делать с вот этим :
$\phi(x)=\lambda \int^\infty_0 \phi(t)\,\sin(x\,t)\,dt$

Помните -- какое есть специальное название у этой штуки $\varphi(x)$?

[sup]

Можно продолжить $\varphi(x)$ на полуось $x<0$ нечетным образом и получить "чистое" преобразование Фурье . Отсюда выводим для каких $\lambda$ решение только тождественный 0.
Можно применить преобразование Меллина. Или (что в сущности эквивалентно) вместо переменной $t$ использовать переменную $u=\ln t$.
Одно из решений (с подходящим $\lambda$) - $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt x}$. Может быть других решений и вовсе нет.

[V.V.]

При $\lambda=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ решений бесконечно много.

Пусть $\varphi(x)$ - "хорошая" функция. Построим синус-преобразование Фурье

$$ \varphi_1(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int\limits_0^\infty \varphi(x) \sin(\omega x)\,dx. $$

Тогда

$$ \varphi(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int\limits_0^\infty \varphi_1(\omega) \sin(\omega x)\,d\omega. $$

Отсюда легко видеть, что у уравнения есть решение $\phi(x)=\varphi(x)+\varphi_1(x)$.

[sergei1961]

В книге Титчмарша Преобразование Фурье есть целая глава об этом уравнении, он называет такие функции самоподобными. На самом деле это собственные функции косинус или синус преобразования Фурье.