Униформизация

[PSP]

Известна униформизация из алгебраической геометрии. Суть проблемы в поиске параметрического задания алгебраических многообразий. Классический пример: многообразие $x^2+y^2=1$ униформизируется (параметризуется) так: $x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y=\frac{2t}{1+t^2}$.
Есть ли алгоритмы униформизации алг. выражений любой стпени или даже мероморфных функций?
Такие выражения параметризуются(униформизируются) одним параметром, или есть ситуации, когда нужны два параметра(для многомерных обьектов)?

[worm2]

На Вольфраме пишут, что известно очень немного случаев, когда удаётся получить униформизацию, даже для алгебраических функций.

[PSP]

worm2 писал(а):

На Вольфраме пишут, что известно очень немного случаев, когда удаётся получить униформизацию, даже для алгебраических функций.

А можно ли униформизировать вот такое выражение:
(x^2-K)((1-k_1y^2)^2+k_2y^4)-y^2=0
, где K,k_1,k_2 некоторые константы ?

[lofar]

PSP писал(а):

А можно ли униформизировать вот такое выражение:
(x^2-K)((1-k_1y^2)^2+k_2y^4)-y^2=0, где K,k_1,k_2 некоторые константы?

Конечно можно: $x=\sqrt{\frac{t^2}{(1-k_1t^2)^2+k_2t^4}+K}$, $y=t$. Вместе с тем, предполагаю, что Вы хотели чего-то другого...

[Руст]

Речь идёт о рациональном отображении y(t),x(t) дающую всю кривую, т.е. о представлении поля рациональных функций на кривой как подполя рациональных функций, порождённой одним трансцендентным элементом t.
Вроде нельзя униформизировать рациональными функциями. Однако можно двоякопериодическими функциями Вейерштрасса.

[PSP]

Руст писал(а):

Речь идёт о рациональном отображении y(t),x(t) дающую всю кривую, т.е. о представлении поля рациональных функций на кривой как подполя рациональных функций, порождённой одним трансцендентным элементом t.
Вроде нельзя униформизировать рациональными функциями. Однако можно двоякопериодическими функциями Вейерштрасса.

Вот это было бы интересно...

Добавлено спустя 13 минут 1 секунду:

lofar писал(а):

PSP писал(а):

А можно ли униформизировать вот такое выражение:
(x^2-K)((1-k_1y^2)^2+k_2y^4)-y^2=0, где K,k_1,k_2 некоторые константы?

Конечно можно: $x=\sqrt{\frac{t^2}{(1-k_1t^2)^2+k_2t^4}+K}$, $y=t$. Вместе с тем, предполагаю, что Вы хотели чего-то другого...

Спасибо!Это один из ответов.Наверняка есть и другие.

[juna]

Вообще-то, нужно было оговорить множества, из которых константы $k,k_1,k_2$ и переменные $x,y$ принимают значения. Ваша задача приобретает содержательный смысл, если они целые или рациональные.

[PSP]

lofar писал(а):

PSP писал(а):

А можно ли униформизировать вот такое выражение:
(x^2-K)((1-k_1y^2)^2+k_2y^4)-y^2=0, где K,k_1,k_2 некоторые константы?

Конечно можно: $x=\sqrt{\frac{t^2}{(1-k_1t^2)^2+k_2t^4}+K}$, $y=t$. Вместе с тем, предполагаю, что Вы хотели чего-то другого...

А если добавить ограничение , чтобы в качестве униформизирующих функций были только мероморфные функции?