Что означает запись с интегралом?

[Sverest]

$U=\int^{b}_{a} E dl$

$U$ - напряжение
$E$ - напряженность

Такая запись означает, что напряжение равно сумме маленьких участков напряженности на отрезке$(a,b)$?

А зачем $dl$ нужно?

[Tlalok]

А почему вдруг сумме напряженностей? Ничего подобного.

Данная запись обозначает, что напряжение между точками $A$ и $B$ равно интегралу от напряженности вдоль какой-нибудь линии $l$, соединяющей эти точки.

[phys]

Ну для начала было бы неплохо ознакомиться с криволинейным интегралом.

[Sverest]

phys в сообщении #507917 писал(а):

Ну для начала было бы неплохо ознакомиться с криволинейным интегралом.

Ну я понимаю, что интеграл это площадь под графиком функции, ограниченной с двух сторон линиями $x=a$ и $x=b$

[Tlalok]

Sverest, Вы имеете неправильное представление об интеграле.
Почитайте о криволинейных интегралах.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Одна из довольно красивых вещей в анализе. Особенно как их один в другой можно переводить. Вроде очевидно, а красиво!

[svv]

Sverest писал(а):

Такая запись означает, что напряжение равно сумме маленьких участков напряженности на отрезке$(a,b)$?

А зачем $dl$ нужно?

Более правильный вариант: на каждом маленьком участке надо умножить напряженность (в какой-то точке участка) на длину участка и потом сложить такие произведения.

Когда длина каждого участка становится бесконечно малой ($dl$), а количество слагаемых -- бесконечно большим, сумма $\sum\limits_{n=1}^{\infty} E_n dl_n$ превращается в интеграл $\int\limits_a^b E dl$.

Примерно так, наверное, это описывали в XVIII веке.

[ewert]

Tlalok в сообщении #507911 писал(а):

Данная запись обозначает, что напряжение между точками $A$ и $B$ равно интегралу от напряженности вдоль какой-нибудь линии $l$, соединяющей эти точки.

Нет. Это утверждение попросту неверно, а в данной записи интеграл обычный определённый.

Sverest в сообщении #507897 писал(а):

Такая запись означает, что напряжение равно сумме маленьких участков напряженности на отрезке$(a,b)$?

Нет. Такая запись означает, что напряжение -- это энергия, приобретаемая единичным зарядом при перемещении из точки $a$ в точку $b$, т.е. совершаемая при этом работа поля с напряжённостью $E$. Поскольку работа -- это и есть интеграл от силы по перемещению, просто по определению работы.

[phys]

ewert в сообщении #508211 писал(а):

Tlalok в сообщении #507911 писал(а):

Данная запись обозначает, что напряжение между точками $A$ и $B$ равно интегралу от напряженности вдоль какой-нибудь линии $l$, соединяющей эти точки.

Нет. Это утверждение попросту неверно, а в данной записи интеграл обычный определённый.

А это еще как сказать, под $a$ и $b$ могут пониматься точки $a(x,y,z) \ b(x,y,z)$, да и $dl$ по правилам хорошего тона дифференциал длинны дуги.

[ewert]

phys в сообщении #508296 писал(а):

да и $dl$ по правилам хорошего тона дифференциал длинны дуги.

Вот это и категорически неверно. Если бы это было так, то вместо просто $E$ должна была бы стоять соотв. проекция, которой никак не наблюдается. Если же $dl$ -- это дифференциал не длины, а перемещения, то... ну начнём с того, что его так никто и никогда не обозначает.

[Sverest]

svv в сообщении #508148 писал(а):

Примерно так, наверное, это описывали в XVIII веке.

А в нашем веке что-то изменилось разве?

[svv]

Допустим, я -- автор этого определения, которое больше описание. Попадаю в XX или XXI век, покупаю учебник и читаю:
Интеграл Римана. Пусть $f$ -- функция, заданная на отрезке $[a, b]$.
Определение 4. Говорят, что число $I$ является интегралом Римана от функции $f$ на отрезке $[a, b]$, если для любого $\varepsilon>0$ найдется число $\delta>0$ такое, что для любого разбиения $(P, \xi)$ с отмеченными точками отрезка $[a, b]$, параметр которого $\lambda(P)<\delta$, имеет место соотношение

$$\left| I-\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \right|<\varepsilon.$$

(В. А. Зорич, Математический анализ, 2002, часть I)