Андрей123.
Переосмысление вашей реплики позволило упростить ранее приведенное мною доказательство неравенства.
Если n представить в виде
![$n = 2 ^ l$ $n = 2 ^ l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/c/efc5ceba104b0b24bbf6b7704988c11782.png)
, то доказательство неравенства
![$n^k < 2 ^ n$ $n^k < 2 ^ n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/c/1dcc930d8ec67fc66bfa7f5cfe9a9df782.png)
, сводится к доказательству
неравенства
![$lk < 2 ^ l$ $lk < 2 ^ l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/2/e42567cf689f7150057f85b796a7f6ed82.png)
, а оно верно при
![$l > 2k+1 $l > 2k+1](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/6/86662fdf82c19c508b76884104f1341782.png)
, что доказывается разложением
![$ 2 ^ n$ $ 2 ^ n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/c/f5c904e2e952731e75c89cd1b1ef86b682.png)
, по биному Ньютона и удержанием 3-го члена.
Таким образом, при всех n , удовлетворяющих условию
![$n > 2 ^2^k^+^1 $ $n > 2 ^2^k^+^1 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/f/45fa8201ad2eae3022e3d7976341eb7b82.png)
,
имеет место неравенство
![$n^k < 2 ^ n$ $n^k < 2 ^ n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/c/1dcc930d8ec67fc66bfa7f5cfe9a9df782.png)
, а тем более и исходное неравенство
![$n^k < m ^ n$ $n^k < m ^ n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/5/4b5cc8fe48465ba0854e978d84e155c082.png)
. Не надо никакой индукции!
Хочу отметить, что доказательство не использует ни логарифмов, ни корней,
а только целые числа и их степени, как и доказуемое неравенство.
Неясно можно ли еще упростить доказательство и улучшить полученную
оценку для N или это противоречивые требования?