Теорема о неявной функции

[Nimza]

Глупый вопрос, но я что-то совсем в тупике: $\varphi(x,w) \in C^{\infty}(R^n \times R^n)$, $\nabla_{x} \varphi \neq 0$ и

$\det \left( \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_{i} \partial w_{j}} \right) > 0$

Как тут умудриться применить теорему о неявной функции, чтобы показать, что из $\varphi(x,w) = \varphi(x',w)$ для всех $w$ следует $x = x'$?

[alcoholist]

Разберите вручную случай $n=1$

[Nimza]

В одномерном всё просто.

$0 = \varphi_{\omega}(x,\omega) - \varphi_{\omega} (x',\omega) = \varphi_{x,\omega}(\xi(\omega),\omega)(x - x') \neq 0$

В многомерном мешает зависимость $\xi(\omega)$, если идти тем же путём. Вообще,

$0 = \varphi_{\omega}(x,\omega) - \varphi_{\omega}(x',\omega) = \int\limits_{0}^{1} \varphi_{x,\omega}((1-t)x' + tx,\omega) dt \cdot (x-x')$

Вот сохранится ли знак определителя матрицы после интегрирования...

[Nimza]

Жаль, что уже нельзя править сообщения, но может быть это сильно поможет решить задачу. По сути, то, что я записал --- это одно из требований в достаточных условиях наличия двойного расслоения $\mathbb{R}^{n}$, порождаемого семейством гиперповерхностей и имеет смысл того, что если через две точки проходят одни и те же пучки гиперповерхностей, то эти точки совпадают. В какой области математики вообще рассматриваются такие задачи? Дифференциальная геометрия? Алгебраическая геометрия? Может быть там уже есть ответ на мой вопрос...

[alcoholist]

Nimza в сообщении #506630 писал(а):

В одномерном всё просто.
$0 = \varphi_{\omega}(x,\omega) - \varphi_{\omega} (x',\omega) = \varphi_{x,\omega}(\xi(\omega),\omega)(x - x') \neq 0$

но ведь надо для самих функций, а не для производных это показать

[Хорхе]

alcoholist, если функции совпадают, то совпадают и их производные.

[Nimza]

Ну я предположил, что $x \neq x'$. Раз для самих функций это выполняется при всех $\omega$, мы можем по $\omega$ продифференцировать это равенство (так как это тождество). Ну а в равенстве для производных приходим к противоречию.

[alcoholist]

Т.е. в одномерном случае условие

$$\varphi_{x,x}\varphi_{y,y}>\varphi_{x,y}^2$$

не используется?

[Хорхе]

В одномерном случае условие не такое.

Впрочем, одно условие действительно не используется -- ненулёвость градиента.

[alcoholist]

а... да, пардон, это я спросонья)

[Nimza]

Вот ещё идея. Пусть $x(t) = (1-t)x' + tx$. Определим функцию $f \colon [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R}$

$f(t,s) = \left\langle \varphi_{x,\omega}(x(t),\omega)(x-x'), \varphi_{x,\omega}(x(s),\omega)(x-x') \right\rangle$

Из формулы конечных приращений, для каждого $t$ найдётся $s(t)$ такое, что $f(t,s(t)) = 0$. Если бы удалось показать, что такое отображение $t \mapsto s(t)$ можно выбрать непрерывным, то оно бы имело неподвижную точку и всё было бы доказано. Но что-то у меня не получается показать эту непрерывность, есть ли она вообще

[Oleg Zubelevich]

Nimza
А откуда задача? Вроде утверждение красивое, но можно ли быть уверенным в том, что оно правильное?
Я пока научился доказывать только если

Nimza в сообщении #505731 писал(а):

$ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_{i} \partial w_{j}} $

-- матрица знакоопределенной квадратичной формы.

[Nimza]

Oleg Zubelevich,
утверждение из статьи http://amath.colorado.edu/pub/wavelets/papers/BEYLKI-1984.pdf, страница 581, 7 строка сверху.
Если знакоопределённая, то я тоже уже придумал: применить теорему Лагранжа к $(x-x')(\varphi_{\omega}(x,\omega) - \varphi_{\omega}(x',\omega))$.
Вообще мне кажется, что это должен быть известный результат. Неужели никто не строил двойные расслоения по гиперповерхностям, отличным от гиперплоскостей с времён выхода этой вот статьи http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=2708&option_lang=rus (тут разобран случай гиперплоскостей). Не верится как-то.

[Nimza]

Если формально применять теорему о неявной функции, то результат получается локальный.
Рассмотрим отображение $F(x) = \varphi_{\omega}(x,\omega) - \varphi_{\omega}(x',\omega)$. Имеем $F(x') = 0$ и $\det F'(x') > 0$. Значит по теореме о неявной функции в некоторой окрестности $x'$ у нас $F(x)=0$ влечёт $x = x'$. Как же глобальный случай получить. Наверное надо как-то произвольность $\omega$ использовать?

О, если рассмотреть отображение $\Phi(\omega) = \varphi_{x}(x,\omega) - \varphi_{x}(x',\omega)$ и выбрать любую омегу, то во-первых $\Phi(\omega_{0})=0$, а во-вторых, $\det \Phi'(\omega) > 0$. Получается в некоторой окрестности $\omega_{0}$ другие омеги не должны обнулять отображение. То есть получено противоречие. Может где-то я ошибся (устал к вечеру). Но пока мне кажется, что это то что нужно.

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #508057 писал(а):

О, если рассмотреть отображение $\Phi(\omega) = \varphi_{x}(x,\omega) - \varphi_{x}(x',\omega)$ и выбрать любую омегу, то во-первых $\Phi(\omega_{0})=0$, а во-вторых, $\det \Phi'(\omega) > 0$. Получается в некоторой окрестности $\omega_{0}$ другие омеги не должны обнулять отображение. То есть получено противоречие. Может где-то я ошибся (устал к вечеру). Но пока мне кажется, что это то что нужно.

Вообще не понял, что написано. Что такое $\omega_0$? Откуда $\Phi(\omega_{0})=0$? Кстати, это очень плохая идея обозначать одной буквой $x$ и переменную и ее конкретное значение, при котором

Nimza в сообщении #505731 писал(а):

з $\varphi(x,w) = \varphi(x',w)$