Задача Всеросс 2004

[Хет Зиф]

Дано натуральное $n>3$ и положительные числа $x_{1}, x_{2}, ...,x_{n}$ . Доказать неравенство $\frac{1}{1+x_{1}+x_{1}x_{2}}+\frac{1}{1+x_{2}+x_{2}x_{3}}+..+\frac{1}{1+x_{n}+x_{n}x_{1}}>1$.

[RIP]

А там нет больше никаких оганичений на $x_j$ вроде $x_1x_2\ldots x_n=1$ или чего нибудь в таком духе?
Если взять все $x_j=x$, то надо доказать $\frac n{1+x+x^2}>1$. Что-то меня здесь смущает

[Хет Зиф]

RIP
Извиняюсь ! вечно в спешке забываю допиать что-то! Конечно
главное условие $x_{1}x_{2}..x_{n}=1$

[Руст]

Несколько громоздко можно доказать вариацией x_k\to ax_k, \ x_{k+1}\to \frac 1a x_{k+1}$, убеждаясь что минимум в одном из крайних положений. При этом неравенство неулучшаемо, т.е. существует такие значения, что выражение меньше 1+ерсилон.

[Sasha2]

А если заменить каждое слагаемое так:
1) x2*x3*...*xn
2) x1*x3*...*xn
...
n) x2*x3*...*xn

каждое из которых явно не больше (исходя из условий задачи заменяемого слагаемого), а затем просто воспользоваться тем фактом, что среднее арифметическое n чисел не меньше среднего геометрического. В данном случае после такой замены среднее геометрическое явно равно 1 (опять таки из условий задачи).

Кажется, что можно условие несколько ослабить (т.е есть возможность еще несколько увеличить знаменатели, и тем не менее неравенство продолжит сотаваться справедливым).

[Хет Зиф]

Sasha2
Вы хотите сказать что $\frac{1}{1+x_{1}+x_{1}x_{2}}>x_{2}..x_{n}$ ??

[Sasha2]

Да, пока вижу, что ошибся. Приношу извинения.

[heap]

$\frac{1}{1+x_{1}+x_{1}x_{2}}+\frac{1}{1+x_{2}+x_{2}x_{3}}+...+\frac{1}{1+x_{n}+x_{n}x_{1}} = \frac{1}{1+x_{1}+x_{1}x_{2}}+\frac{x_{1}}{x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3}} +\frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}+...+\frac{x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n-1}}{x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n-1}+1+x_{1}} > \frac{1+x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3} + ... + x_{1}x_{2}x_{3}*...*x_{n-1}}{1+x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3} + ... + x_{1}x_{2}x_{3}*...*x_{n-1}} = 1$