Оцените красоту формулы

[Руст]

Я цитировал самое начало. Если с самого начала не понятно, что означает $m_p$ и в каком интервале оценка (относительно n), какой смысл читать дальше.

[e2e4]

Руст, все-таки не будьте так категоричны. AndAll написал, что эта идея - путь к формуле Лежандра. То, что человек открыл ее самостоятельно - это же здорово. Тем более я бы не стал писать, что

Цитата:

Так, что мое мнение - всё это чушь.

.

Апис, а вы все-таки как-то упорядочите свои сообщения, наведите порядок с обозначениями, факториалами и т.д. Вам же проще будет, когда разложите все по полочкам.

[RIP]

Апис, прошу прощения. Просто я подумал, что Вы утверждаете, что погрешность $R(n)\overset{def}{=}nm_p-P_n=o(P_n)$. (В Ваших обозначениях, т.е. $m_p=\prod\limits_{q\leqslant\sqrt n}\left(1-\frac1q\right)$, $q$ - простые, $P_n=\pi(n)-\pi(\sqrt n)$.)

По поводу оценки погрешности. Резюмирую то, что я писал выше.
Можно показать, что

$$R(n)=2e^{-\gamma}\frac n{\ln n}-li(n)+O\left(ne^{-c\left(\frac{\ln n}{\ln\ln n}\right)^{0.6}}\right).$$

Напомню, что в этой формуле:
$\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1n-\ln n\right)=0.577...$ - постоянная Эйлера;

$$li(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}=\frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1!}{\ln x}+\frac{2!}{(\ln x)^2}+\ldots+\frac{l!}{(\ln x)^l}+O\left(\frac1{(\ln x)^{l+1}}\right)\right),\ \forall l\in\mathbb{N};$$

$c>0$ - некоторая постоянная.

Проще говоря,

$$R(n)=\frac{n}{\ln n}\left(A-\frac{1!}{\ln n}-\frac{2!}{(\ln n)^2}-\ldots-\frac{l!}{(\ln n)^l}+O\left(\frac1{(\ln n)^{l+1}}\right)\right),\ \forall l\in\mathbb{N},$$

где $A=2e^{-\gamma}-1=0.12...$
Т.е. $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{R(n)}{P_n}=A>0$. По-моему, очень любопытный факт, т.к. естественно было бы ожидать, что предел равен $0$.

Если Вы сможете показать (элементарными рассуждениями), что предел $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{R(n)}{P_n}$ существует, то Вы получите новое элементарное доказательство асимптотического закона распределения простых чисел (и прославитесь на весь мир).

А если серьезно, то Вы изобретаете велосипед. Подобные рассуждения на основе формулы включения-исключения уже давно рассматриваются в теории чисел (они называются методами решета). Как правило, они весьма громоздкие и весьма непростые (потому, что элементарны), однако с помощью них удается получать результаты, пока недоступные аналитическим методам. Для первоначального ознакомления могу порекомендовать книжку Гельфонд А.О., Линник Ю.В. — Элементарные методы в аналитической теории чисел (Глава 5). Но читать эту книжку ой как непросто по той простой причине, что она посвящена именно элементарным методам (как ни глупо это звучит). Кроме того, есть мнение, что в этой книжке количество ошибок отлично от нуля (я слушал спецкурс, на котором рассказывались некоторые результаты из этой книжки).

Добавлено спустя 42 минуты 15 секунд:

Получаем такой парадоксальный результат. Если в качестве $p$ взять наибольшее простое число, не превосходящее $n^{\alpha}$, где $\alpha=e^{-\gamma}=0.56...$, то получится гораздо более хорошее приближение. Т.е. погрешность в приближенной формуле

$$\pi(n)-\pi(\sqrt n)\approx n\prod_{p\leqslant n^{\alpha}}\left(1-\frac1p\right)$$

гораздо меньше, чем в формуле

$$\pi(n)-\pi(\sqrt n)\approx n\prod_{p\leqslant\sqrt n}\left(1-\frac1p\right)$$

[Руст]

RIP писал(а):

Получаем такой парадоксальный результат. Если в качестве $p$ взять наибольшее простое число, не превосходящее $n^{\alpha}$, где $\alpha=e^{-\gamma}=0.56...$, то получится гораздо более хорошее приближение. Т.е. погрешность в приближенной формуле

$$\pi(n)-\pi(\sqrt n)\approx n\prod_{p\leqslant n^{\alpha}}\left(1-\frac1p\right)$$

гораздо меньше, чем в формуле

$$\pi(n)-\pi(\sqrt n)\approx n\prod_{p\leqslant\sqrt n}\left(1-\frac1p\right)$$

Выяснили, что такое $m_p$, хотя я и сам догадался, что можеть быть получено школьными методами.
RIP вы заблуждаетесь, отбрасывая вторую сумму $k>\sqrt n =x$ в величине:

$$\frac{1}{m_p}=\sum_k^* \frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{\sqrt n}\frac 1k +\sum_{k>\sqrt n}^*\frac 1k.$$

Здесь звёздочка означает, что в суммировании присутствуют только члены гармонического ряда, у которых все простые множители не превосходят корень из n.
Так, что постоянная не совпадает с вашей. Я даже не знаю значения этой постоянной (возможно 1).
Для Аписа. Метод получения этой оценки безграмотен. Если получать точное значение:
$\pi(n)-\pi(\sqrt n )=n-\sum_{p\le \sqrt n}[\frac np]+\sum_{p<q\le \sqrt n}[\frac{n}{pq}]-...$, надо заметить, что уже только за счёт отбрасывания членов с тремя простыми можно получить оценку хуже n (троек простых чисел меньше корень из n, больше n).
Если интересуетесь такими вопросами, советую прочитать хотя бы первую главу (элементарные методы) книги Прахара "Распределение простых чисел".

[RIP]

Руст
В книжке Ингама (я приводил ссылку выше где-то) в конце самой первой главы приведено док-во следующего результата

$$\prod_{p\leqslant x}\left(1-\frac1p\right)=\frac{e^{-\gamma}}{\ln x}\left(1+O\left(\frac1{\ln x}\right)\right).$$

Именно из этих соображений я и получил последнее утверждение.

Добавлено спустя 3 минуты 1 секунду:

Используя асимптотичесий закон распределения простых чисел, в этой формуле в $O(...)$ можно написать гораздо более точную оценку. Отсюда получается формула для остатка.

Добавлено спустя 1 час 38 минут 21 секунду:

Вас, наверно, ввела в заблуждение постоянная Эйлера (я сам удивляюсь её появлению в этой формуле), но заметьте, что если отбросить вторую сумму, то постоянная Эйлера всё равно не появится:

$$\frac1{m_p}\approx\ln\sqrt n+\gamma$$

не то же самое, что

$$\frac1{m_p}\sim e^{\gamma}\cdot\ln\sqrt n$$

[Руст]

RIP писал(а):

Руст
В книжке Ингама (я приводил ссылку выше где-то) в конце самой первой главы приведено док-во следующего результата

$$\prod_{p\leqslant x}\left(1-\frac1p\right)=\frac{e^{-\gamma}}{\ln x}\left(1+O\left(\frac1{\ln x}\right)\right).$$

Да, логарифмируя легко получается, что \prod_{p\le x}(1-\frac 1p )=\frac{C}{ln x}(1+O(\frac{1}{ln x }))$. Сложнее определить константу.
В любом случае, описанным Аписом методом можно получить только оценку:
$C_1ln n<\pi (n)<\frac{C_2n}{lnln n }$.

[Апис]

Руст RIP Если я изобрёл велосипед, тогда объсните, что вы сейчас обсуждаете.
Лучше подскажите, вы ищете величину погрешности, а не пробовали упростить задачу, и определить в каких случаях погрешность положительная, а в каких отрицательная. То есть когда полученные значения больше истинного, а когда меньше. Это не праздный вопрос.

Добавлено спустя 3 минуты 54 секунды:

e2e4 Посмотрите пожалуста в ваши личные сообщения

[Руст]

Во первых, даже вашу оценку нельзя получить таким образом. Во вторых у вас начиная с некоторого оценка всегда меньше, точнее меньше примерно в $e^{\gamma }$ раз.

[RIP]

Апис
Начиная с некоторого момента Ваша оценка будет всегда больше примерно в $2e^{-\gamma}=1.12...$ раз (но такое отношение будет при довольно больших $n$).

Добавлено спустя 2 минуты 49 секунд:

Руст
С помощью данного метода можно получить оценку $\pi(n)<\frac{C n}{\ln n}$ (но сложно). Так написано в книжке Ингама, сам я не пробовал.

Добавлено спустя 38 минут 34 секунды:

Апис
Не могли бы Вы написать свои соображения по поводу оценки погрешности. Было бы интересно послушать.
Косвенными методами оценку погрешности получить несложно (я так и сделал), а вот напрямую из этого метода...

[Апис]

Руст RIP на каждом интервале

\[p^2 - p_/^2 \]

у каждого (п) принадлежащего этому интервалу один размер шага прироста значения

\[p_n \]

и этот шаг равен

\[m_p \]

При прохождении (п) по всем числовым значениям интервала

\[p^2 - p_/^2 \]

с размером шага

\[m_p \]

(п) проходит по цепочке составных чисел тогда погрешность растёт с каждым шагом на

\[m_p \]

и сбрасывается на 1-

\[m_p \]

при прохождении простого числа (потому-то я и предложил доказать, что есть такая непрерывная цепочка из составных чисел длиной (1-Р) на интервале

\[p^2 - p_/^2 \]

) Погрешность зависит от соотношения колличества составных чисел и простых чисел. Для определения наибольшей погрешности нужно знать самую длинную цепочку из составных чисел. Как видите исходя из моей формулы вполне возможно говорить о погрешности. Извините если, что объяснил не по правилам. Вы знаете, я не математик.

[Апис]

Я доказал, что на интервале

\[p^2 - p_/^2 \]

не может быть непрерывной цепочки из составных чисел, длинее чем цепочка из

\[1 - p_/ \]

чисел. Отсюда максимальная погрешность при вычислении

\[p_n = nm_p - 1\]

не может превышать значения

\[pm_p \]

. Этот результат можно намного улучшить в каждом конкретном случае.
Мне так и не удалось никого вовлечь в процесс поиска, а жаль. Повсему видно пока я предлагал задачи, пропал и интерес к теме. Может оно и к лучшему. Как бы там не было, я благодарен авторам данного форума. Апис.

[PAV]

PAV:

Тема закрывается по просьбе автора. Взамен будет создана новая, содержащая более полное описание результата и его доказательства.