Оценка параметра тетта

[number_one]

Пусть $\Big\{x_1,x_2,…,x_n\Big\}$ выборка из распределения $P(x_i=1)= \theta$

$P(x_i=-1)=1-\theta$

$\theta\in(0,1)$. Пусть $k_n=|{i: x_i=1}|$

Является ли оценка $\hat\theta =\frac{k_n}{n}$ несмещенной оценкой для неизвестного параметра $\theta$?

А что такое $k_n$ и с чего стоит начать?!

[PAV]

$k_n$ - количество единиц в выборке. Назовите единицу "успехом", минус единицу - "неудачей" и тогда Вы имеете в чистом виде одну из базовых статистических задач об оценке вероятности успеха в схеме Бернулли. Она описана в множестве учебников.

[number_one]

PAV в сообщении #507095 писал(а):

$k_n$ - количество единиц в выборке. Назовите единицу "успехом", минус единицу - "неудачей" и тогда Вы имеете в чистом виде одну из базовых статистических задач об оценке вероятности успеха в схеме Бернулли. Она описана в множестве учебников.

Спасибо! Ок, спасибо, почитаю)

-- 23.11.2011, 22:42 --

$$p(X=1)=C_n^{k_n}\cdot p^n(1-p)^{n-k_n}=\dfrac{n!}{k_n!(n-k_n)!}\cdot \dfrac{k_n^n(1-k_n)^{n-k_n}}{n^n\cdot n^{n-k_n}}=\dfrac{n!n^{k_n}k_n^n(1-k_n)^{n-k_n}}{k_n!(n-k_n)!}$$

$$p(X=-1)=C_n^{n-k_n}\cdot p^{n-k_n}(1-p)^{n}=\dfrac{n!}{k_n!(n-k_n)!}\cdot \dfrac{k_n^{n-k_n}(1-k_n)^{n}}{n^n\cdot n^{n-k_n}}=\dfrac{n!n^{k_n}k_n^{n-k_n}(1-k_n)^{n}}{k_n!(n-k_n)!}$$

$M\theta=p(X=-1)\cdot(-1)+p(X=1)\cdot 1$

Как-то сложно упростить $p(X=-1)$ и $p(X=1)$...

[number_one]

Есть еще такой вариант:

$M\hat\theta = 1\cdot {k_n\over n} +(-1)\cdot {{n-k_n}\over n}={{k_n-n+k_n}\over n} ={2k_n\over n}-1\ne \theta$

[arseniiv]

(Тетта?)

\begin{tabular}{|l|c|c|} \hline \cdots & \cdots & \cdots \\\hline H\eta & \emph{эта} & \emph{eta} \\\hline \Theta\theta & \emph{\color{blue} тета} & \emph{theta} \\\hline I\iota & \emph{йота} & \emph{iota} \\\hline \cdots & \cdots & \cdots \\\hline \end{tabular}

[number_one]

(Оффтоп)

Лучше тетту писать по-другому?! Так $\Theta$?

[svv]

Нет, так: тета.

[number_one]

svv в сообщении #507230 писал(а):

Нет, так: тета.

Ок, буду знать, что тета!

(Оффтоп)

Чувствуется, что с распределение Бернулли я напутал что-то) Как-то там совсем не получается

[--mS--]

number_one в сообщении #507111 писал(а):

$$p(X=1)=C_n^{k_n}\cdot p^n(1-p)^{n-k_n}=\dfrac{n!}{k_n!(n-k_n)!}\cdot \dfrac{k_n^n(1-k_n)^{n-k_n}}{n^n\cdot n^{n-k_n}}=\dfrac{n!n^{k_n}k_n^n(1-k_n)^{n-k_n}}{k_n!(n-k_n)!}$$

$$p(X=-1)=C_n^{n-k_n}\cdot p^{n-k_n}(1-p)^{n}=\dfrac{n!}{k_n!(n-k_n)!}\cdot \dfrac{k_n^{n-k_n}(1-k_n)^{n}}{n^n\cdot n^{n-k_n}}=\dfrac{n!n^{k_n}k_n^{n-k_n}(1-k_n)^{n}}{k_n!(n-k_n)!}$$

$M\theta=p(X=-1)\cdot(-1)+p(X=1)\cdot 1$

Кто такой $X$, почему у него значения $-1$ и $1$, да ещё и с какими-то случайными вероятностями, отчего у константы $\theta$ матожидание - как у этого икса, что за $p=k_n/n$ и т.д.?

Ну и самый главный вопрос. Вы ответ PAV выше прочитали? Хотя бы вот это:

PAV в сообщении #507095 писал(а):

$k_n$ - количество единиц в выборке.

Количество единиц в выборке - это случайная величина. Не может она возникнуть в правой части при вычислении вероятностей и математических ожиданий: оные суть константы, числа.

(не для ТС)

Надеюсь, окружающие понимают, что в таких крайне запущенных случаях дискуссии об УМО и условных распределениях будут не к месту...

[number_one]

Простите, ночью очень плохо голова работала...Думаю, что сейчас что-то осмысленное удалось написать...

Да, ок, сейчас исправлюсь! Чтобы $\hat\theta =\frac{k_n}{n}$ была несмещенной оценкой для неизвестного параметра $\theta$, нужно, чтобы $M\hat\theta=\theta$

$P(k_n=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

А как узнать вероятность того, что при одном испытании у нас будет успех?

-- 24.11.2011, 12:07 --

Может $p=\theta$?

Если -- да, то...

$P(k_n=k)=C_n^k\theta^k(1-\theta)^{n-k}$

$M(k_n=k)=n\theta$ вывод есть в учебнике, я его понял. (вывод $MX=pn$ для биномиального распределения)

Так как математическое ожидание -- линейно, то..

$M\hat\theta=\dfrac 1{n}M(k_n)=\dfrac{1}{n}\cdot n\theta=\theta$

[number_one]

Есть ли в последнем сообщении хоть какие-то здравые зерна? А то после сообщения --mS-- я уж думал "апстенку головой бицца", ибо уже все -- финиш, приехали)))

[--mS--]

Ну дык теперь всё и верно, вот народ и молчит. Да, вероятность успеха в Вашем отдельном испытании - это вероятность появления единицы. Она дана в условии, тэта и есть.

[number_one]

Ок, теперь понятно!!! Спасибо