Найти общее решение дифференциального уравнения

[keep-it-real]

$y''+y'-2y=(x-1)e^x$
как я понимаю, нужно решить уравнение сначала находя общее решение однородного, а затем частное
нахожу общее, получаю
$y_{oo}=C_1e^x+C_2e^{-2x}$
затем частное ищу в виде
$y_{ch}=(Ax+B)e^x$
$y'_{ch}=Ae^x+(Ax+B)e^x$
$y''_{ch}=2Ae^x+Axe^x+Be^x$
подставляю все это в исходное уравнение
$2Ae^x+Axe^x+Be^x+Ae^x+(Ax+B)e^x-2((Ax+B)e^x)=(x-1)e^x$
точно уже не помню как надо делать вычислять коэффициенты, но у меня все сокращается и остается
$3A=x-1$
отсюда следует, что $A=-\frac{1}{3},B=0$?
прошу помощи в поиске ошибки, если что-то не так, просто не очень нравится вот эта сложившаяся ситуация)

[gris]

В частном решении экспонента умножается на полином второй степени, ибо имеет место резонанс.

[bot]

gris в сообщении #507038 писал(а):

умножается на полином второй степени

С нулевым свободным членом.

[keep-it-real]

gris в сообщении #507038 писал(а):

В частном решении экспонента умножается на полином второй степени, ибо имеет место резонанс.

а почему второй степени?

-- 23.11.2011, 20:19 --

т.е. будет выглядеть так
$y_{ch}=(Ax^2+Bx+C)e^x$?

[gris]

Потому, что это стандартная правая часть $Q_m(x)e^{\mu x}$, причём $\mu$ является однократным корнем характеристического уравнения. Частное решение ищем в виде $xP_m(x)e^{\mu x}$.

[keep-it-real]

все равно не могу понять, можно но примере объяснить?

[ewert]

Вам же на Вашем же примере и объяснили. В принципе, частное решение надо искать примерно в том же (но более общем) виде, что и правая часть, т.е. в данном случае в виде $(Ax+B)e^x$. Но это -- если нет резонанса; если же он есть, то следует предварительно домножить на икс в степени кратность того корня, с которым резонанс, т.е в данном случае надо искать в виде $x^1\cdot(Ax+B)e^x=(Ax^2+Bx)e^x$.

[keep-it-real]

все я разобралась, т.е. в моем случае $\mu$ является однократным корнем характеристического уравнения