Дифференциальная геометрия."Параллельные поверхности".

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Вот такая задача по диффгему.
Пусть $ \mathbf{S} $ - некоторая заданная поверхность. Отложим на нормалях к поверхности $ \mathbf{S} $ в одном направлении отрезки постоянной длины. Концы отложенных отрезков описывают поверхность $\mathbf{S^*$}, "параллельную" поверхности $ \mathbf{S} $. Если поверхность $ \mathbf{S} $ задана в виде $ \mathbf{r} =\mathbf{r}(u,v)$, то поверхность $ \mathbf{S^*$}$ задается в виде

$$ \rho = \mathbf{r}(u,v) + a\mathbf{n}(u,v) , $$

где $\mathbf{n}(u,v)$ - единичный вектор нормали к $ \mathbf{S} $. При каких длинах отрезков, отложенных по нормалям, поверхность, параллельная данной, будет регулярной?

P.S. Эта задача под номером 6.23 из сборника задач : Мищенко, Соловьев, Фоменко "Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии". Мне известно как коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности $ \mathbf{S^*$}$ выражаются через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности $ \mathbf{S} $. Что-то у меня не получается напрямую решить, используя определение регулярности и вид поверхности $\mathbf{S^*} $. Спасибо заранее за помощь.

[svv]

Кстати, а Вы примерно представляете механизм того, почему "параллельная" поверхность может быть "испорченной" (при самой что ни на есть регулярной исходной поверхности)?

[alcoholist]

3.14 в сообщении #506596 писал(а):

Что-то у меня не получается напрямую решить

так в лоб же: $\rho_u\times\rho_v\ne 0$

[3.14]

Цитата:

Кстати, а Вы примерно представляете механизм того, почему "параллельная" поверхность может быть "испорченной" (при самой что ни на есть регулярной исходной поверхности)?

Вроде, да..)) хотя как-то сложновато идет(

-- 22 ноя 2011, 22:34 --

alcoholist, я плохо понял, что вы хотели сказать...) почему "решение в лоб" : $\rho_u\times\rho_v\ne 0$ (здесь, как я понимаю, векторное произведение). Не могли ли бы вы немного подробнее изложить..

[svv]

3.14 писал(а):

почему "решение в лоб" : $\rho_u\times\rho_v\ne 0$

Физически не могу ассоциировать обозначение $\rho$ с вектором, вместо него пишу $\mathbf{r}$.

alcoholist предлагает проверять, что не равен нулю вектор

$$\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \left(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}\right)\times\left(\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v}\right) = \mathbf{e}_x \begin{vmatrix} \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{vmatrix} + \mathbf{e}_y \begin{vmatrix} \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial u} \\ \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial v} \end{vmatrix} + \mathbf{e}_z \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} $$

то есть что не равен нулю хоть один из указанных определителей. Но это и есть условие регулярности поверхности.

[3.14]

как я понял,то ответом задачи будет число $a$. Как нам из условия $\rho_u\times\rho_v\ne 0$ вытащить это $a$?.

-- 23 ноя 2011, 02:20 --

или достаточно будет указать, чему $a$ не должно равняться?

[svv]

Нет-нет, $a$ -- это параметр, определяющий, на каком расстоянии от исходной поверхности проводится "параллельная" ей поверхность. В задаче как раз и надо установить, при каком расстоянии $a$ от исходной "параллельная" будет (ещё) регулярной (а, скажем, при большем -- уже нет). Это зависит от свойств исходной поверхности, ну, и ещё кое от чего.

3.14 писал(а):

или достаточно будет указать, чему $a$ не должно равняться?

Да, именно.

[3.14]

аа..ну тогда более менее ясно..просто я думал нужно было явно $a$ показать..Просто, вот это $a$ получается зависит от точки поверхности? или нет? (вообще, как я понял, $a$ у нас одна дается на всю поверхность)

-- 23 ноя 2011, 02:32 --

alcoholist и svv, спасибо за помощь)

[svv]

3.14 писал(а):

вот это $a$ получается зависит от точки поверхности? или нет?

И да, и нет.

$a$ не зависит от точки поверхности в том смысле, что при построении $\mathbf{r}(u,v) + a\mathbf{n}(u,v)$ оно считается константой. Мы от любой точки исходной поверхности смещаемся вдоль "нормального" направления $\mathbf{n}$ на одно и то же расстояние $a$. Ставим там точку. Множество поставленных точек и образует "параллельную" поверхность.

Представьте сначала ежа без иголок -- это исходная поверхность. Теперь ежа с иголками: каждая игла длиной 3 сантиметра, перпендикулярна к поверхности. Множество точек -- концов иголок и будет параллельной поверхностью для ежа при значении параметра $a=3$. Проблемы начнутся, когда ёж будет "вогнутым".

$a$ зависит от точки поверхности в том смысле, что для каждой точки исходной поверхности есть своё $a$, при котором соответствующая точка параллельной поверхности (построенной с одним таким $a$ на всю поверхность) не будет регулярной.

Может, предыдущая фраза будет понятнее на "ежином" языке. Пусть ёж вогнутый (прогнул спинку). Для каждой точки ежа проблемы с концами иголок будут при своей длине иголок, хотя при построении длина иголок одна и та же для всей поверхности.

[alcoholist]

Вот зачем мучаться, если можно "в лоб":

$$ |(r_u+an_u)\times(r_v+ar_v)|=|r_u\times r_v|\cdot (1-2aH+a^2K), $$

где $H=(k_1+k_2)/2$, $K=k_1k_2$

[INGELRII]

Не совсем понял: то есть существуют всего два возможных значения $a$, при которых "параллельная" поверхность будет нерегулярной? Мне казалось, что если она нерегулярна при скажем $a=1$, то и при любом $a>1$ регулярности уже не будет...

[ИСН]

Регулярность будет. Будут самопересечения, но это не проблема. Ну представьте плоскую кривую, на которой вырастает бугор, потом заостряется в клюв, а потом проходит сквозь себя и делается лепестком.

[svv]

INGELRII в сообщении #506977 писал(а):

существуют всего два возможных значения $a$, при которых "параллельная" поверхность будет нерегулярной?

Точно так: $a=\frac{1}{k_1}$ и $a=\frac{1}{k_2}$.

[alcoholist]

INGELRII в сообщении #506977 писал(а):

то есть существуют всего два возможных значения $a$

нет же... поверхность будет нерегулярной для тех $a$, которые принадлежат области значений обратных кривизн поверхности $M$

[svv]

INGELRII, наверное, имел в виду "в данной точке", а Вы -- "вообще".