Обьясните пожалуйста по ТУДам(критерий Михайлова)

[Stotch]

в книжке в следствии к критерию Михайлова написано
Для того чтобы полином $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+.....+a_{n-1}x+a_0$ был Гурвицев необх и достаточно чтобы все корни уравнений g(w)=0 h(w)=0
были простыми веществеными и чередующимеся.
g и h это вещ и мнимаячасти полинома.
что значит чередующиеся и простые?????там далее в примере у них получилось набор корней 1 -1 $\sqrt{5}$ $-\sqrt{5}$ 0 -2 2
И они сказали что они простые и чередующиеся,ПОЧЕМУ???

[ewert]

Stotch в сообщении #506375 писал(а):

И они сказали что они простые и чередующиеся,ПОЧЕМУ???

Скорее всего -- потому, что они простые и чередующиеся.

Простота проверяется тривиально: их (разных) должно быть ровно столько, какова степень соотв. многочлена. Чередование -- ещё тривиальнее. С одной оговоркой: они должны чередоваться правильным образом, т.е. первым должен идти корень того из двух многочленов Михайлова, который положен. Впрочем, при нечётном суммарном количестве корней этот вопрос решается автоматически.

[Stotch]

было задание иследовать на устойчивость уравнение
x''''+x'''+6x''+4x'+5x=0
тут степень равна 4 корней у них 7 почему тогда простые?не понял насчет чередования,приведите пример корней которые буду не чередоваться

[V.V.]

Stotch в сообщении #506401 писал(а):

не понял насчет чередования,приведите пример корней которые буду не чередоваться

Рассмотрите многочлен небольшой степени, имеющий корни с положительной вещественной частью и посчитайте для них $g(\omega)$ и $h(\omega)$. Вот вам и будет пример.

[Stotch]

непонял.Я в принцыпе не понимаю что значит чередование.А почему эти корни простые были?????там ведь степень полинома не совпадает

[V.V.]

Stotch, простые - это значит, некратные.

Например, корни 1 и 2 многочлена $(x-1)(x-2)$ - простые, а корень 3 многочлена $(x-3)^2$ - непростой.

Что значит чередование? Возьмите красный и синий карандаши и нарисуйте на числовой оси корни многочленов $g$ и $h$. Если любые две соседние отмеченные точки будут разных цветов, то по-другому можно сказать, что они будут чередоваться.

Что разных степеней нестрашно. Если у вас есть 4 "синих" точки и 3 "красных", то их можно нарисовать на оси так, чтобы они чередовались.