Оцените красоту формулы

[RIP]

Объясню тогда уж, откуда берется ошибка (про это уже упоминалось выше).
Пусть $n\in\mathbb{N}$, $p_1<p_2<\ldots<p_k=p$-все простые, не превосходящее $\sqrt n$. Тогда количество простых $q$, удовлетворяющих неравенствам $p<q\leqslant n$, равно

$$n-1+\sum_{s=1}^k(-1)^s\cdot\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_s\leqslant k}\left\lfloor\frac n{p_{i_1}p_{i_2}\ldots p_{i_s}}\right\rfloor=n-1-\sum_{i=1}^k\left\lfloor\frac n{p_i}\right\rfloor+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant k}\left\lfloor\frac n{p_ip_j}\right\rfloor-\ldots$$

(обычная формула включения-исключения).
Вы отбрасываете в этой формуле значки целой части, наивно полагая, что погрешность, которая при этом возникает, "мала". В результате получается выражение $nm_p-1$. Поверьте, Вы далеко не первый, кто совершает эту ошибку. Погрешность отнюдь не "мала".
Именно, если обозначить $R(n)=(nm_p-1)-P_n$ (в обозначениях Аписа), то, как я уже писал, при больших $n$ верно $R(n)\sim cP_n$, где $c=2e^{-\gamma}-1=0.12...$.
Конечно, я могу и ошибаться (со мной такое частенько бывает). Пожалуйста, проделайте все вычисления при каком-нибудь большом $n$ (а лучше при нескольких больших $n$) и приведите здесь результаты.

[Апис]

Что касается погрешности. После консультации e2e4, я предполагаю показать, что формула и в таком виде жизнеспособна. А пока для тех, кто хочет попробовать свои силы, предлагаю доказать одно предположение. Бьюсь об заклад, несколько лет вы на это потратите. Вот это предположение:
Как было показано выше формула

\[P_n = nm_p - 1\]

дает количество простых чисел в интервале (p-n). То есть в интервале (1-p) в нашем случае нет простых чисел, все простые числа есть числа базисные и они входят в свои базисы. То есть для нас они являются составными числами. Нужно доказать, что в интервале

\[P^2 - \left( {P^* } \right)^2 \]

нет длиннее цепочки состоящей из одних составных чисел, чем цепочка длинной в

\[1 - (p^* - 1)\]

интервал, которая в нашем случае состоит из одних базисных чисел. Например: p=7 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10. Цепочка состоит из девяти базисных чисел. Доказать что в интервале (49-121) нет непрерывной цепочки из составных чисел, числом более девяти. Доказать, а не посчитать.

[RIP]

Еще Лежандр предполагал, что для всех больших $n$ выполняется $p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n}$, $p_n-n$-е простое число (по сути, утверждается примерно то же самое). То, что это не доказано, я гарантирую. Не знаю, доказано ли, что это неверно. Но если это верно и кому-то удастся это доказать, то этому человеку гарантирована всемирная известность.

[e2e4]

Цитата:

Как было показано выше формула дает количество простых чисел в интервале (p-n).

Формула дает приблизительное кол-во простых чисел в интервале p-n.

Цитата:

То есть в интервале (1-p) в нашем случае нет простых чисел, все простые числа есть числа базисные и они входят в свои базисы.

В интервале (1-p) есть простые числа для всех p>2. Пожалуйста, последовательно вводите новые термины, иначе вас оч. трудно понимать. Что такие базисные числа, и что такое базис, куда они входят?

Цитата:

Нужно доказать, что в интервале $P^2-(P^*)^2$ нет длиннее цепочки состоящей из одних составных чисел, чем цепочка длинной в $1-(P^*-1)$интервал, которая в нашем случае состоит из одних базисных чисел.

Что есть P*? Из формулы 1-(P*-1) после раскрытия скобок получится -P*+2, т.е. для любого p>2 имеем отрицательный результат.

Цитата:

Например: p=7 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10. Цепочка состоит из девяти базисных чисел.

Ваш ряд состоит из 10-и чисел, почему вы пишете 9?

Добавлено спустя 2 минуты 16 секунд:

Не могу удержаться от сарказма:

RIP писал(а):

Но если это верно и кому-то удастся это доказать, то этому человеку гарантирована всемирная известность.

С другой стороны, если это неверено, а кому-то удастся доказать что верно, то этому человеку гарантирована еще большая известность

[Gordmit]

RIP писал(а):

Еще Лежандр предполагал, что для всех больших $n$ выполняется $p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n}$, $p_n-n$-е простое число (по сути, утверждается примерно то же самое). То, что это не доказано, я гарантирую. Не знаю, доказано ли, что это неверно. Но если это верно и кому-то удастся это доказать, то этому человеку гарантирована всемирная известность.

Да, сейчас наилучший результат об этом состоит в том, что $p_{n+1}-p_n=O(p_n^{\frac{38}{61}+\varepsilon})$, однако если использовать расширенную гипотезу Римана, получается гораздо лучший результат.
Вообще, существует гипотеза о том, что $p_{n+1}-p_n=O(\ln^2p_n)$, но она, конечно, не доказана.

[Руст]

Gordmit писал(а):

Да, сейчас наилучший результат об этом состоит в том, что $p_{n+1}-p_n=O(p_n^{\frac{38}{61}+\varepsilon})$, однако если использовать расширенную гипотезу Римана, получается гораздо лучший результат.
Вообще, существует гипотеза о том, что $p_{n+1}-p_n=O(\ln^2p_n)$, но она, конечно, не доказана.

Здесь уже это обсуждалось. Указанный результат порядка 30-летней давности. Сейчас (после 2000 (статья 2001 г.)) показатель гораздо ближе к 0.5 (примерно 0.54).

[Батороев]

AndAll писал: "Хотя Ваш пост нелегко разобрать именно по этой причине, вероятнее всего Вы «открыли» формулу Лежандра для решета Эратосфена, правда, несколько усеченную."

Г-н AndAll, на мой взгляд, абсолютно прав. Это в чистом виде - решето Эратосфена, в котором "вычеркиваются" все составные числа. Сей процедуру можно приблизительно описать выражением (извиняюсь, что еще не успел освоить теги):
P = (n-p)*{1/2 + 1/3*1/2 + 1/5*1/2*2/3 + 1/7*1/2*2/3*4/5 + ...+1/p*1/2*...*[p_a-1]/[p_a]},
где p_a - простое число, предшествующее p.
То, что осталось "незачеркнутым", Вы и ввели в свою формулу.

[Gordmit]

Руст писал(а):

Здесь уже это обсуждалось. Указанный результат порядка 30-летней давности. Сейчас (после 2000 (статья 2001 г.)) показатель гораздо ближе к 0.5 (примерно 0.54).

Сорри, я, похоже, слегка отстал от жизни.
А где обсуждалось, ссылку не подкинете?

[Апис]

Базисное число и базис от этого числа, эти определения даны выше в самой работе.
(Р) со звёздочкой, это всего лишь следующее за (р)простое число
Цепочка из девяти чисел, а их десять - ошибка при вводе, там не должно быть еденицы, это не базисное число.
Оставьте извесность в покое, такая интересная проблема, о всём другом скорее всего будут заботится следующие поколения

Добавлено спустя 10 минут 40 секунд:

Батореев, то что это в чистом виде решето Эрастофена никто и не скрывает, более того в работе всё подробно показано. Чему вы поражаетесь?

[Батороев]

Апис писал(а):

Странно, никто даже не поинтересовался как я получил эту формулу. Вы судите о формуле по её внешнему виду. Такой подход мне не понятен.

Уважаемый Апис, я только постарался выполнить то, что Вы сами просили, но не обратил внимание вовремя на сообщение e2e4. Извиняюсь.

[RIP]

Апис писал(а):

При работе я руководствовался следующими принципами
...
2.Занимательность и доступность

По-моему, самое занимательное (и удивительное) в этом то, что приведенные рассуждения дают неверный результат. Почему Вы не хотите в это поверить? Я понимаю, почему в это трудно поверить, но это доказанный факт. Док-во можно найти, например, в книжке Ингам А.Е. — Распределение простых чисел. На мой взгляд, об этом стоило бы упомянуть в работе (хотя и это не ново).

Добавлено спустя 11 минут 22 секунды:

Апис писал(а):

Оставьте извесность в покое, такая интересная проблема,

Никто и не спорит, что проблема интересная. Но над этой проблемой бьются уже давно далеко не последние люди, приведенные выше результаты доказываются с помощью весьма суровой техники аналитической теории чисел. Прежде, чем браться за эту проблему, стоит задуматься над этим.

[Апис]

RIP Приведённые расуждения дают неверный результат, в этих словах пустота. Расуждения правильные не могут давать неверного результата.

[Руст]

Если хотите, чтобы другие читали ваши произведения, то пишите что есть что.

Апис писал(а):

Формула для определения колличества простых чисел на интервале(р-п)

\[P_n = nm_p - 1\]

\[P_n \]

-колличество простых чисел на интервале (р-п)

Если равенство, то справа так же должно быть неотрицательное целое число. Это у вас не выполняется. К тому же вы не говорите для любого ли интервала. Если допустить, что ваша формула верна для случая, когда $p=p_k, p_k^2\le n<p_{k+1}^2$, то это чушь. Во первых, уже из доказанного о распределении простых чисел следует, что $m_p=\frac{1}{2ln(p)}$, точнее $m_p=\frac{Li(p^2)}{p^2}$, иначе у вас даст большую ошибку. Во вторых, ваша формула означает, что простые числа слишком регулярно встречаются. Это не так, даже остаточный член от Li(x) отклоняется в обе стороны неупорядоченно примерно на корень из х.

Цитата:

р-простые числа
п-натуральные числа

\[p^2 \leqslant n < (p_/ )^2 \]

Зависимость между значениями (п)и(р)
Например: п=168

\[11^2 \leqslant 168 < 13^2 \]

\[m_p = \frac{{(p - 1)!}}{{p!}}\]

Рекуррентная формула для определения значений

\[\frac{{(p - 1)!}}{{p!}}\]

\[\begin{gathered} m_2 = \frac{1} {2} = 0,5 \hfill \\ m_3 = 0,333... \hfill \\ m_5 = 0,2666 \hfill \\ m_7 = 0,2285714 \hfill \\ m_{11} = 0,20779220778 \hfill \\ p_n = nm_p - 1 = 168 \cdot 0,20779 - 1 = 33,9 \hfill \\ \end{gathered} \]

Истинное значение-34

Уже заметили, что у вас $m_p=\frac{(p-1)!}{p!}=\frac{1}{p}$. Попытался как то заменить факториалы на примориалы, чтобы получилось осмысленным приведённые вами значения, ничего у меня не получилось.

Цитата:

В полученной формуле есть сходство с числовой функцией Элера, но там если принять мою терминологию, значения (р) получены при факторизации числа (п). А это совершенно другой подход.
Что на данный момент могу сказать о величине погрешности при вычислении? Практически ничего. Но всё же. Пока можно только определять максимальную величину погрешности (которая теоретически может быть) при вычислении. Рекуррентная формула для определения погрешности, это если быть честным, хоть что-то сказать, когда сказать нечего.
Вот потому-то я хотел бы предложить тем, кто хочет попробовать свои силы, доказать одно предположение. Может быть, доказывая это предположение, найдём направление для поиска величины погрешности. Сергей Ситников.

Наилучшее значение для $m_p=\frac{\pi(x)-\pi(p)+1}{x} \ p^2=p_k^2\le x<p_{k+1}^2$ некоторое среднее по этим х. Только в этом случае ваша постоянная не вычисляемая, во вторых и в этом случае часто превзойдёт корень из p.
Так, что мое мнение - всё это чушь.

[juna]

Gordmit писал(а):

Руст писал(а):

Здесь уже это обсуждалось. Указанный результат порядка 30-летней давности. Сейчас (после 2000 (статья 2001 г.)) показатель гораздо ближе к 0.5 (примерно 0.54).

Сорри, я, похоже, слегка отстал от жизни.
А где обсуждалось, ссылку не подкинете?

Вот это обсуждение. Только постоянная там $0,525$

[Апис]

Руст. Работу надо смотреть с начала, а не делать выводы по какому -то промежуточному результату. Неужели никто не понял, это не решение проблемы, это новый подход который открывает бесконечные перспективы для иследований. Я же писал, даже не знаю подхода к проблеме определения погрешности. А вы все мне доказываете, что формула не верна. Работа не закончена, дальнейшее иследование мне не посилам. Но согласитесь половину пути я прошол и сделал это красиво.
Всё таки я докажу вам, что и в этом виде формула жизнеспособна.